Задание 3. Оптимизации не боитесь?
Один предприниматель решил основать компанию по производству игровых приставок, но не одну, а сразу штук! Игровые приставки производятся с помощью труда и капитала. — выпуск фирмы, — количество капитала, использованного каждой фирмой, а — количество труда, нанятого одной фирмой. При этом для каждой компании производственная функция одинакова и имеет вид:
Каждая компания приобретает труд и капитал по разным ценам, причем первая фирма покупает и труд по цене единица за каждый ресурс, вторая — по цене две единицы, третья — четыре и так далее так, что каждая следующая фирма покупает каждый ресурс по цене вдвое выше предыдущей.
a) Выведите функцию издержек фирмы в зависимости от ее номера. ( баллов)
Ответ
Для каждой компании:
где - цена капитала, а - цена труда. Так как они равны, далее обозначим за .
Имеем систему из двух уравнений:
Тогда:
Приравнивая и :
В зависимости от номера фирмы, цена ресурса будет равна , тогда:
b) Выведите издержки предпринимателя, если он использует все фирмы рационально, а всего фирм . ( баллов)
Ответ
на каждом заводе монотонно возрастают, значит необходимо «подравнивать» , чтобы они были как можно меньше.
Выразим зависимость и просуммируем по горизонтали:
Это геометрическая прогрессия со знаменателем , суммируя получаем:
Тогда:
интегрируя, получаем :