Задание 5. Олимпиада Колокольникова 2024 (8 класс)
Преступление и наказание
Разбойник Данила стащил из казны уездного города тысяч рублей и решил вложить эти деньги в банк. Банк предлагает открыть ему один из двух вкладов:
: На года под годовых с капитализацией (сложные проценты)
: На года под годовых без капитализации (простые проценты)
а) ( баллов) Найдите , при котором Даниле будет безразлично, каким из двух вкладов воспользоваться.
Банковский богатырь Егор вычислил, что Данила принес краденые деньги. Теперь разбойник попал в черный список всех банков на года и в течение этого времени не сможет открывать вклады. Егор верит в то, что Данила исправится, и предлагает ему исправительный срок года. Если Данила согласится на исправительный срок, то ему придется вернуть украденные деньги, а по окончании срока он получит обратно рублей и его уберут из черного списка. Пусть , а ставка дисконтирования .
Сравним суммы, которые Данила получит через года. Сумма денег на счете Данилы при выборе первого вклада: тыс. рублей ( балла). Сумма при выборе второго вклада: тыс. рублей ( балла). Даниле будет безразлично, какой из двух вкладов выбрать, если ( балла).
( балла)
б) ( баллов) При каком минимальном разбойник встанет на путь исправления?
Для справки. Ставка дисконтирования показывает, на сколько процентов обесцениваются деньги за один год. Например, если , то нам безразлично, получить рублей сейчас или рублей через год.
Сравним ценности обоих вариантов для Данилы в настоящем времени. Ценность тысяч на руках сейчас равна тыс. рублей ( балла). Ценность варианта с путем исправления найдем с учетом наилучшего доступного вклада.
Так как , то первый вклад будет выгоднее, следовательно, Данила выберет именно его ( балл за определение оптимального вклада). Тогда найдем ценность
( балла). Разбойник встанет на путь исправления, если ( балла).
тыс. рублей
тыс. рублей
Тогда минимальное необходимое для исправления Данилы тыс. рублей
( тыс. рублей. Принимается ответ в любом виде) ( балла).