Две группы потребителей
На товар , производимый фирмой-монополистом, спрос предъявляют группы потребителей, для которых фирма назначает единую цену:
, .
Фирма тратит денежных единиц на каждую произведённую единицу продукции, постоянные издержки равны .
Найдите оптимальный объём производства для фирмы, цену, по которой она будет реализовывать свою продукцию, а также укажите, сколько групп потребителей будут покупать продукцию фирмы. В ответ укажите рыночную цену
Ответ
Спрос будет задаваться кусочно-линейной функцией:
( балла).
Тогда обратное уравнение спроса: ( балла).
Общие издержки фирмы, согласно условию, задаются уравнением
( балл).
Тогда прибыль фирмы устроена следующим образом:
( балл).
Максимум функции на отрезке достигается в вершине: и равняется ( балла).
Максимум функции на отрезке достигается на границе отрезка: , значение не принадлежит выбранному отрезку ( балла).
Таким образом, фирма будет производить единиц по цене , а спрос на продукцию фирмы будет предъявлять только вторая группа потребителей.
Можно решать задачу, используя обратную функцию спроса.
Тогда функция прибыли от цены имеет вид:
( баллов).
Каждый участок функции прибыли - парабола с ветвями вниз, вершина первой параболы в точке , вершина второй параболы в точке (обе координаты принадлежат соответствующим участкам). Поскольку прибыль
в точке лежит и на второй части тоже, можно заключить, что максимизирует прибыль. Поскольку это участок с высокими ценами, продукцию будут покупать только потребители из второй группы ( баллов).
Ответ:
Будет произведено единиц товара по цене ; только вторая группа потребителей будет покупать у фирмы.