Сильная и независимая женщина
У Зои есть две радости в жизни: обнимашки и сладости. Также она иногда работает и получает доход в размере у.е., который может потратить в своё удовольствие. Если она обнимается, но не ест сладкого, её удовольствие описывается функцией:
Если она поедает сладости в одиночестве, функция её удовольствия выглядит иначе:
Совмещать сладости и обнимашки она тоже любит, но только в определённой пропорции – за каждые два часа обнимашек ей надо съесть кг конфет, тогда каждый час будет приносить ей единиц удовольствия. Также во время обнимашек нужно поддерживать минимальную жизнедеятельность, на что уходит у.е. в час. У источника обнимашек есть свои запасы конфет, из которых он готов отдавать Зое по полкило в час. Этих запасов хватит на первые часов. В магазине конфеты стоят у.е. за килограмм, но для оптовых покупателей цены другие – при покупке более кг за раз килограмм конфет обходится всего лишь в у.е.
Каждую сэкономленную у.е. Зоя оценивает в единицу удовольствия.
а) ( баллов) Выпишите функцию удовольствия Зои от совмещения сладостей и обнимашек.
б) ( баллов) Постройте график бюджетного ограничения Зои (линию, показывающую, какие наборы товаров может заполучить Зоя на её доход, полностью расходуя его).
в) ( баллов) Найдите и объясните оптимальное распределение её дохода между сладким, обнимашками и сэкономленными деньгами, при котором она получит максимальное удовольствие. Не забудьте указать как распределение, так и величину удовольствия.
Ответ
а) Функция удовольствия Зои от совмещения сладостей и обнимашек:
Если в решении полезность от денег добавлена в функции удовольствия, то она принимает вид (с учетом акции и бонусов):
Критерии оценивания:
Использование функции – балла
Верные коэффициенты при и – балла
Критерии:
Верный график – баллов.
Не учтены бонусные конфет в верхней части графика – баллов
Вообще не учтены бонусные конфеты от обнимашек – балла
График отражает не максимально возможные комбинации – балла
Неверные точки разрыва – балл
Прямая линия бюджетного ограничения – баллов
в) Необходимо сравнить три точки, в которых ,, , , с учетом бюджетного ограничения.
Функция на участке монотонно возрастает по , следовательно, функция достигает своего максимума в точке .
Функция – парабола с ветвями вниз, следовательно, максимум будет достигаться в вершине.
Более того, Зоя сберегает у.е., что суммарно приносит ей единиц удовольствия.
Максимальная доступная Зое точка, где соблюдена нужная пропорция конфет к обнимашкам при совместном потреблении -
Таким образом получается, что выгодней всего сильной и независимой Зое поедать конфеты в одиночестве и сберегать оставшиеся деньги.
Если в решении удовольствие от сбережений было дополнительно введено в функции удовольствия, принцип решения остается тем же, но с другими значениями:
Функция на участке монотонно возрастает по , следовательно, функция достигает своего максимума в точке .
Функцию удовольствия от конфет нужно рассматривать на двух участках, так как меняется цена. На каждом из участков найти максимум и сравнить между собой
Максимальное удовольствие от потребления в комплекте так же будет равно . Таким образом, верный ответ – покупать кг конфет по цене и сберегать оставшиеся деньги.
Критерии (вне зависимости от изменений в функциях удовольствия):
Каждая найденная верно точка для сравнения балл
Каждый верный уровень удовольствия в точке балла
Верный ответ балл.