Задача 3. ШЭ ВСоШ Татарстан 2025 (7-8 класс)
Антон работает курьером в Москве и хочет купить себе новый велосипед для доставки товаров. Чтобы выбрать велосипед, ему нужно ровно двенадцать дней, когда он не сможет работать и ему придётся отказаться от рублей в день, которые он зарабатывает. Также он может попросить своего друга Артёма найти ему велосипед, но Артём – человек рациональный, поэтому просит от стоимости велосипеда за такую услугу. Артём также потратит суток на выбор велосипеда.
При какой минимальной цене велосипеда Антон решит сам выбрать себе велосипед, а не просить это сделать Артёма? Считайте, что если ему безразлично, выбирать самому или попросить Артёма, то он выбирает велосипед сам.
Ответ: .
Решение:
Пусть — это стоимость нового велосипеда, который Антон хочет купить.
Шаг . Расчёт издержек Антона, если он покупает велосипед сам Если Антон решит самостоятельно выбрать велосипед, то он потратит на это дней. В эти дни он не сможет работать, а значит, упустит доход, который составляет рублей в день. Таким образом, его потери за дней будут:
рублей.
Кроме того, он потратит саму стоимость велосипеда . Итого, общие издержки Антона, если он выберет велосипед сам, составят:
.
Шаг . Расчёт издержек Антона, если он попросит помощи Артёма Если Антон попросит Артёма выбрать велосипед, то Артём запросит за эту услугу от стоимости велосипеда. Это означает, что издержки Антона в этом случае составят:
.
Здесь — это стоимость велосипеда плюс от этой стоимости, которые Артём возьмёт за услугу.
Шаг . Условие выбора Антона
Антону будет выгодно выбрать велосипед самому, если его издержки в этом случае будут меньше или равны издержкам, если он попросит помощи у Артёма. То есть: .
Подставляем выражения для и : .
Решим это неравенство:
,
,
рублей.
Шаг . Итог
Антон выберет велосипед сам, если стоимость велосипеда будет не меньше рублей. Это означает, что при цене велосипеда рублей и выше Антон посчитает более выгодным выбирать велосипед самостоятельно, так как упущенный доход за дней не будет превышать от стоимости велосипеда.
( балла)