Смурф-торговля
В деревне Смурфеево живут 100 смурфов (смурфы – бесконечно делимые существа), которые занимаются сбором ягод и орехов. Количество собранных ягод и орехов зависит от того, как смурфы распределяют обязанности между собой. Если смурфов займутся сбором ягод, то они соберут килограммов ягод; если смурфов пойдут собирать орехи, то будет собрано килограммов орехов. Смурфы всегда стремятся иметь как можно больше орехов при каждом возможном количестве ягод.
-
Запишите уравнение кривой производственных возможностей для деревни Смурфеево и постройте график КПВ (на горизонтальной оси отметьте количество орехов).
-
Жители Смурфеево любят потреблять орехи и ягоды в определённой пропорции, их суммарные предпочтения описываются функцией полезности:
a. Сколько смурфов будут заниматься сбором ягод, а сколько – орехов?
b. Какое количество ягод и орехов они смогут собрать, максимизируя полезность?
- Деревня смурфов начинает торговать с соседними поселениями, при этом предпочтения жителей Смурфеево остаются такими же, как и в пункте 2). Рынок ягод и орехов совершенно конкурентный, цена килограмма ягод равна единице, а цена килограмма орехов равна p, причём жители Смурфеево могут и импортировать, и экспортировать ягоды и орехи. По виду КПВ деревни Смурфеево ясно, что альтернативные издержки единицы орехов (в единицах ягод) не постоянны и равны . Известно, что после начала торговли в Смурфеево стали собирать 4 килограмма ягод и 6 килограммов орехов.
a. Чем равно значение p (то есть цена килограмма орехов)?
b. Чем равна стоимость всех собранных жителями Смурфеево ягод и орехов?
c. Назовём кривой торговых возможностей (КТВ) линию, содержащую множество наборов, доступных жителям Смурфеево в результате производства и торговли. Запишите уравнение КТВ Смурфеево и постройте на новой координатной плоскости графики КПВ и КТВ Смурфеево (на горизонтальной оси отметьте количество орехов).
d. Какое количество ягод и орехов потребят жители Смурфеево, максимизируя полезность?
Как выглядит структура торговли Смурфеево, то есть какой товар и в каком количестве они экспортируют, а какой импортируют?
- (10 баллов за пункт 1)
Всего в деревне 100 смурфов, которые могут в любой пропорции поделить обязанности. Чтобы собрать кг ягод, нужно смурфов. Чтобы собрать кг орехов, нужно смурфов. Если все смурфы заняты сбором ягод или орехов, то: (1 балл)
(3 балла)
Тогда уравнение КПВ имеет вид . (3 балла)
КПВ похожа на четверть эллипса. (3 балла при указании точек пересечений с осями и подписывании осей)
- (10 баллов за пункт 2)
При таких предпочтениях у смурфов есть строгая пропорция потребления. Ягоды и орехи являются совершенными комплементами с пропорцией в оптимуме. (3 балла за верную пропорцию) Найдём пересечение КПВ и "линии наборов оптимальных для потребления:
(2 балла за оптимальное количество собранных ягод и орехов)
При этом для сбора ягод потребуется 36 смурфов, а для сбора орехов 64 смурфа (2 балла за оптимальное распределение смурфов)
- (a) 25 баллов за пункт 3)
(18 баллов за 3(a) - 3(c))
Рынок ягод и орехов совершенно конкурентен, поэтому цена орехов постоянна. Поскольку цены постоянны, их соотношение постоянно и равно пропорции объема орехов на ягоды (то есть альтернативным издержкам единицы орехов в внешнем рынке).
Так как , "внешние" альтернативные издержки единиц орехов в ягодах (то есть отношение предельных издержек производства) )
(3 балла за обоснованное нахождение внешних альтернативных издержек/пропорции обмена благ на внешнем рынке)
По условию задачи в любой точке альтернативные издержки производства единиц орехов (в ягодах) равны , а в точке оптимума . Следовательно, альтернативные издержки производства оптимальной единицы орехов равны
Заметим, что альтернативные издержки производства единицы орехов возрастают, а "внешние" альтернативные издержки (соотношение рыночных цен) постоянны, то в точке оптимального выпуска альтернативные издержки внутренние производства совпадают с внешними альтернативными издержками, то есть . (3 балла за обоснование касания КПВ и КТВ)
Тогда , следовательно (2 балла за нахождение цены орехов)
(b) Стоимость собранных ягод и орехов: (1 балл за определение стоимости набора)
Точка — это производственный оптимум деревни Смурфеево остается такой же, как и в пункте 2. Её координаты известны из условия, выше показано, как может быть интерпретирована информация о данной точке (альтернативный вариант — построение линии уровня для соотношений рыночных цен и нахождение наиболее высокой линейной, которая будет являться кривой торговых возможностей). В точке равны альтернативные издержки производства единицы орехов и соотношение рыночных цен орехов и ягод, которое равно .
КТВ — это линия, проходящая через точку спецификации с углом наклона .
Зная стоимость собранных ягод и орехов в точке и цены за единицу ягод и орехов, можно записать уравнение КТВ (альтернативно можно было бы получить координаты одной из точек пересечения с осями, исходя из возможности продать все собранные в точке ягоды или орехи).
(d) (3 балла за пункт (d))
Предпочтения Смурфов не изменились .
Теперь все доступные наборы ограничены КТВ деревни.
Найдём оптимальный набор потребления Смурфов при тор-
говле:
(3 балла за нахождение оптимума)
(e) (4 балла за пункт (e))
Смурфы импортируют орехи (1 балл) и экспортируют ягоды (1 балл), т.к. они производят 6кг орехов и 4кг ягод, но не потребляют больше орехов и меньше ягод .
Импорт орехов равен:
Экспорт ягод равен: