Доставлять или так продавать?
Фабрика, расположенная в области города , производит мебельные гарнитуры и стремится получить максимальную прибыль. Ежемесячные затраты фабрики на производство гарнитуров в тысячах рублей описываются функцией , где — количество гарнитуров в штуках. Готовые гарнитуры фабрика продает мебельному салону из другого региона по цене тысяч рублей за штуку, после чего салон реализует гарнитуры потребителям на своих условиях. Фабрика заказывает доставку гарнитуров у транспортной компании.
( баллов) В первый месяц сотрудничества мебельной фабрики и транспортной компании фабрика пользовалась услугами перевозки гарнитуров бесплатно. Определите, сколько гарнитуров должна была произвести фабрика в течение месяца и какую прибыль она при этом получила бы.
Ответ
Отметим, что функция прибыли для всех пунктов.
Если фирма не оплачивает доставку, то её прибыль . График функции — парабола ветвями вниз, максимум этой функции в вершине . Прибыль .
( баллов) Во второй месяц, по условиям контракта, доставка становится платной. Заказ одного автомобиля, то есть стоимость одной перевозки, обходится в тысяч рублей, при этом в автомобиль можно погрузить не более гарнитуров. Определите, сколько гарнитуров должна была произвести фабрика в этом месяце, а также какую прибыль она при этом получила бы.
Ответ
Если фирма оплачивает доставку, то её прибыль зависит от количества доставок. Попробуем решить задачу, используя среднюю стоимость доставки одного гарнитура . Тогда прибыль . График функции — парабола ветвями вниз, максимум этой функции в вершине . Количество получилось кратным , значит, будет доставки. Прибыль .
( баллов) Во все месяцы, начиная с третьего, стоимость доставки будет составлять тысяч рублей. Определите, сколько гарнитуров в этом случае должна была производить фабрика в месяц, а также какую прибыль она при этом получила бы.
Ответ
Попробуем также решить задачу, используя среднюю стоимость доставки одного гарнитура . Тогда прибыль . График функции — парабола ветвями вниз, максимум этой функции в вершине . Количество не получилось кратным .
Рассмотрим случая: фирма остановится на доставках или фирма сделает доставки. Если доставки , то количество будет (если меньше, то прибыль снизится), . Если доставки будет , заметим, что фирма также будет производить полную загрузку, так как стоимость доставки всегда равна , а при увеличении количества прибыль увеличивается, . Получается, выгоднее производить гарнитуров.
( баллов) Предположим, что через полгода вместо реализации гарнитуров через мебельный салон, фабрика решает открыть на своей территории магазин для самостоятельной продажи гарнитуров. В этом случае фабрике не придется оплачивать доставку гарнитуров, однако необходимо будет нести ежемесячные расходы в объёме тысяч рублей в месяц (на аренду и охрану помещения магазина, заработную плату продавцов и др.), не зависящие от количества проданных гарнитуров. Определите, при какой максимальной величине расходов фабрике выгоднее продавать гарнитуры в собственном магазине. Ежемесячную обратную функцию спроса на гарнитуры, продаваемые в магазине фабрики, она оценивает как , где — количество гарнитуров в штуках, — цена одного гарнитура в тысячах рублей. Считайте, что фабрика не конкурирует с мебельным салоном, так как он находится в другом регионе, и, открыв магазин, она становится монополистом в своем регионе.
Ответ
Для того, чтобы было более выгодно открывать магазин, прибыль должна быть не меньше . Прибыль от открытия магазина . График функции — парабола ветвями вниз, максимум этой функции в вершине . . Получается, что , , то есть минимальный .