Два завода и склад
Мистер Фейнман очень любит играть на барабанах. В преддверии барабанного фестиваля он решил продавать любимый музыкальный инструмент в своем городе. У Фейнмана есть два небольших заводика, а также склад, на котором уже лежат барабанов. Город представляет собой отрезок длиной км, расположение заводов (и функции издержек на них, рассчитанные в долларах) и склада на рисунке:
Других продавцов барабанов в городе нет, спрос на продукцию Фейнмана имеет вид , где — цена в долларах. Все барабаны, которые хранятся на складе и не будут проданы, придется выкинуть.
Мистер Фейнман хотел бы сам контролировать процесс продажи, поэтому откроет только один магазин. Если товар нужно везти в магазин с завода или со склада, Фейнман должен оплатить транспортировку через систему «Сократ» из расчета 1 доллар за километр за каждую единицу продукции. Он планирует выделить для магазина помещение в одном из имеющихся сооружений: на заводе или на складе.
Где мистеру Фейнману следует открыть магазин и сколько барабанов в нем продавать, если он намерен получать максимальную прибыль?
Ответ
Разберём три возможных случая выбора мистером Фейнманом места для магазина.
Магазин на заводе A
Рассчитаем предельные издержки (с учётом доставки) продукции, привезённой из разных мест:
Фейнман никогда не захочет продавать больше единиц продукции, так как с начинается неэластичный участок функции спроса, где выручка убывает, то есть прибыль монополиста не может быть максимальна. При этом видно, что даже если произвести единиц продукции на заводе , предельные издержки производства последней единицы окажутся меньше, чем предельные издержки производства любой единицы в любом другом месте. Следовательно, всё производство будет организовано там же, где находится магазин, и общая функция издержек составит . Функция прибыли в этом случае имеет вид:
Это парабола с ветвями вниз, максимум ее достигается при . Подставляя это значение в функцию прибыли, получаем .
Ситуация изображена на рис. 1.1(a) (заштрихованная площадь соответствует максимальной прибыли).
Магазин на складе
Рассчитаем предельные издержки (с учётом доставки) продукции, привезённой из разных мест:
Ясно, что в первую очередь нужно продать все единиц, находящиеся на складе. При этом , то есть продажа любого количества продукции, превышающего , будет приносить меньше долларов предельного дохода в расчёте на дополнительную единицу. Доставка продукции с любого из заводов стоит за единицу (а ещё есть издержки производства), поэтому продавать произведенные на заводах единицы продукции невыгодно. Продав единиц, Фейнман получит прибыль, равную .
Ситуация изображена на рис. 1.1(b).
Магазин на заводе B
Рассчитаем предельные издержки (с учётом доставки) продукции, привезённой из разных мест:
Предельные издержки (включая доставку) даже для самых первых единиц продукции на заводе больше . При этом, используя завод и продукцию со склада, можно произвести единиц продукции с предельными издержками, не превышающими ( со склада и на заводе), но даже при единицах продукции предельный доход уже существенно меньше предельных издержек; следовательно, в этом случае завод использоваться не будет. Сравнивая предельные издержки на доставку со склада и производство на заводе , можно заметить, что производство на заводе дешевле при первых единицах затем дешевле брать продукцию со склада, но там находится только единиц, поэтому, если мы хотим производить , придётся вернуться на завод и производить там единиц продукции. Таким образом, функция предельных издержек имеет вид:
Функция предельной выручки имеет вид (убывающая функция) и пересекает неубывающую функцию предельных издержек при . Значит, фирма произведет на втором заводе барабана, потратит на это долларов, а еще единицы привезет со склада, потратив на это долларов. Выручка от продажи единиц продукции составит , то есть прибыль мистера Фейнмана будет равна .
Ситуация изображена на рис. 1.1(c).
Сравнение вариантов
Получается, то максимальная прибыль достигается при открытии магазина на заводе и продаже на нём произведенных там же барабанов.