Дважды оптимальная субсидия
Фирма-монополист производит товар «Штуки». Спрос на этот товар описывается уравнением Q = 80−P. Средние издержки производства одной «Штуки» не зависят от выпуска и равны 20. Участник заключительного этапа олимпиады легко определит, что фирма выберет объем производства, равный 30, в то время как если бы рынок «Штук» был конкурентен, рыночный объем производства равнялся бы 60. Как известно, в обычных условиях совершенно-конкурентный объем выпуска является еще и оптимальным с точки зрения общества. Государство захотело добиться того, чтобы фирма увеличила свой выпуск до этого уровня, то есть с 30 до 60. Один из способов сделать это –– предоставить фирме субсидию, которая зависит от выпуска. Пусть S = f (Q), где Q 0 –– объем проданной продукции, S 0 –– общая сумма выплачиваемой фирме субсидии. Проблема, однако, в том, что разные схемы субсидирования повлекут за собой разные расходы государства. Если фирма безразлична между несколькими объемами выпуска, она выбирает наибольший из них.
а) (2 балла) Пусть f(Q) = aQ. Какое значение параметра a нужно выбрать государству, чтобы фирма выбрала объем 60? Каковы будут расходы государства на субсидию?
б) (2 балла) Пусть f(Q) = aQ2. Какое значение параметра a нужно выбрать государству, чтобы фирма выбрала объем 60? Каковы будут расходы государства на субсидию?
в) (8 баллов) Допустим, государство может выбрать в качестве схемы выплаты субсидии любую функцию S = f(Q), определенную для всех Q [0; 80] и принимающую только неотрицательные значения, –– например, , или
, или любую другую (фантазия у государства безгранична). Как и прежде, функция должна быть такой, чтобы фирма продала 60 «Штук». Какую функцию нужно ввести государству, чтобы расходы на субсидию были минимальны? (Если таких функций несколько, приведите любую из них.) Чему равны эти минимальные расходы?
а) Составим функцию прибыли фирмы: . Фирма максимизирует эту функцию по Q, оптимальный выпуск находится в вершине параболы: Q* = (60 + a)/2. Нам нужно, чтобы этот выпуск равнялся 60, откуда Q* = (60 + a)/2 = 60, a = 60, расходы равны S = aQ = 60 60 = 3600.
Ответ: a = 60, S = 3600.
б) Теперь функция прибыли фирмы примет вид (Q) = P(Q)Q − TC(Q) + f(Q) = (80− Q)Q − 20Q + aQ2. Фирма максимизирует эту функцию по Q, оптимальный выпуск находится в вершине параболы: Q* = 30/(1 − a). Нам нужно, чтобы этот выпуск равнялся 60, откуда Q* = 30/(1− a) = 60, a = 1/2, расходы равны S = aQ2 = 60 60/2 = 1800. Расходы при квадратичной субсидии получились меньше.
Ответ: a = 1/2, S = 1800.
в) Функция прибыли фирмы примет вид (Q) = P (Q)Q −TC(Q)+ f(Q) = (80−Q)Q − 20Q + f (Q) = 60Q − Q2 + f(Q). Будем решать задачу в два шага:
-
Докажем, что при любой схеме выплаты субсидии S = f(Q), при которой фирма выбирает выпуск 60, расходы не меньше 900.
-
Приведем функцию f* (Q), при которой расходы равны 900. Из утверждений 1 и 2 будет следовать, что f* (Q) является искомой оптимальной функцией (возможно, не единственной, но находить все оптимальные f* не требуется). Чтобы доказать оценку S 900, заметим, что оптимальность выпуска 60 означает, что для любого Q 0 должно выполняться 60 60 − 602 + f (60) 60Q − Q2 + f(Q). Отсюда для любого Q 0 f(60) 60Q − Q2 + f(Q) 60Q − Q2 + 0, где мы использовали неотрицательность f(Q). Полученное неравенство является наиболее сильным при Q таком, что правая часть 60Q−Q2 максимальна, то есть при Q = 30. Значит, f(60) 60 30 − 302 = 900. Можно было доказать оценку S 900 и взяв альтернативный выпуск 30 сразу: в любом случае, для фирмы выпуск 60 должен оказаться не хуже, чем, в том числе, ее монопольный выпуск 30. Отсюда можно сразу получить неравенство 0+ f(60) 900+ f(30) 900. Теперь приведем пример функции f(Q), такой что фирма выбирает выпуск 60 и расходы равны 900. Пусть
Иными словами, субсидия платится только за выпуск 60 и в размере 900. При Q 60, прибыль как и в отсутствие вмешательства равна 60Q − Q2, а при Q = 60 она равна 900. В итоге оба выпуска 30 и 60 будут давать прибыль 900, и она будет максимальной. По условию, фирма выберет наибольший из этих двух выпусков, то есть 60, и расходы будут равны 900. Значит, f*(Q) подходит.
Ответ: f*(Q) дана выше, S = 900.
Примечание 1: Конечно, подходит и множество других функций f(Q), например
Вообще, подойдет любая неотрицательная функция f, такая что:
-
f (60) = 900;
-
f(Q) Q 2 − 60Q + 900 для любого Q 60;
-
f(Q) < Q2 − 60Q + 900 для любого Q (60; 80].
Примечание 2: один из естественных, но неверных подходов к задаче такой: поскольку квадратичная субсидия оказалась лучше линейной, будем повышать степень. Нетрудно доказать, что при f (Q) = aQn из равенства производной прибыли нулю получается, что нужно брать , тогда расходы будут равны 3600 n. Получается, что увеличивая n, мы можем получить сколь угодно малые расходы, что противоречит нашему ответу 900 выше. В чем проблема с этим рассуждением? Дело в том, что при n 4 и S = a(n)Qn 60 не будет точкой максимума прибыли –– равенства производной нулю для этого недостаточно.
Примечание 3: данная субсидия названа «дважды оптимальной», так как она приводит одновременно 1) к установлению оптимального для общества выпуска; 2) к минимальным расходам на выплату субсидии при достижении этого выпуска.