Экспонат
Алиса любит конфеты , печенье и постимпрессионизм. Килограмм конфет стоит , а килограмм печенья стоит .
Сергей, друг Алисы, хочет сводить ее на выставку ее любимого голландского художника, но требует, чтобы она сама заплатила за билет. Билет на выставку стоит , однако туда бесплатно пускают девушек, пришедших в обуви на шпильках от см. У Алисы нет обуви на шпильках (более того, она терпеть не может носить такую обувь, поэтому в ней удовольствие Алисы от выставки несколько снизится), но она может взять ее напрокат по цене . Предпочтения Алисы относительно конфет, печенья, посещения выставки и ношения обуви на шпильках представимы функцией полезности
где количество конфет и печенья может принимать любые неотрицательные значения, а и — только значения и (в зависимости от того, пошла ли она на выставку и взяла ли обувь напрокат). Общая сумма денег, которую Алиса может потратить, равна .
Найдите спрос Алисы на конфеты, печенье, посещение выставки и обувь на шпильках в зависимости от цены билета на выставку.
Ответ
Алиса может выбрать один из трех вариантов:
) Пойти на выставку, взяв обувь напрокат.
) Пойти на выставку без обуви, взятой напрокат.
) Не ходить на выставку (в этом случае брать обувь напрокат нет смысла).
Рассмотрим вариант . В этом случае , то есть Алиса будет максимизировать функцию (осталось выбрать только потребление конфет и печенья). Поскольку Алиса берет обувь напрокат за , а выставка бесплатна, она может потратить на конфеты и печенье . Составим бюджетное ограничение: . Понятно, что в силу возрастания функции полезности Алиса будет тратить все деньги, так что . Подставляя это в функцию полезности, получаем . Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: . Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: .
Рассмотрим вариант . В этом случае , , то есть Алиса будет максимизировать функцию . Поскольку Алиса покупает билет на выставку за , она может потратить на конфеты и печенье . Составим бюджетное ограничение: , откуда . Подставляя это в функцию полезности, получаем . Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: .
Подставляя это в функцию, находим максимальное значение:
Рассмотрим вариант . В этом случае , то есть Алиса будет максимизировать функцию . Других трат нет, так что она может потратить на конфеты и печенье сумму . Составим бюджетное ограничение: , откуда . Подставляя это в функцию полезности, получаем . Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: . Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: .
Нетрудно заметить, что лучше не ходить на выставку вообще, чем ходить в обуви на длинных шпильках (, так что вариант никогда не является наилучшим для Алисы). Чтобы сравнить варианты и , составим неравенство:
Решая это неравенство с учетом не отрицательности цены, получаем , то есть при ценах, больших , Алиса предпочтет вариант , а при ценах, меньших , — вариант (при она безразлична между вариантами). Составим функции спроса:
Примечание:
Задача основана на реальных событиях.
Источник задачи — домашнее задание по курсу «Микроэкономика-1» Совместной программы НИУ ВШЭ и РЭШ по экономике.