Отдача и эффект
Производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от масштаба. Докажите наличие для совершенного конкурента на рынке факторов производства в долгосрочном периоде эффекта масштаба.
Ответ
Несколько определений, от которых мы будем отталкиваться:
Возрастающая отдача от масштаба означает:
для любого .
Долгосрочная функция издержек определяется как минимальные затраты на производство выпуска при данных ценах факторов:
Средние долгосрочные издержки:
.
Эффект масштаба существует, если убывает с ростом .
Начнем рассуждения:
Пусть для некоторого выпуска оптимальная комбинация факторов есть, так что:
Оценим издержки для большего выпуска .
Возьмём комбинацию факторов , тогда в силу возрастающей отдачи от масштаба:
Это означает, что комбинация позволяет произвести больше, чем . В этом случае стоимость комбинации равна:
Фактические (минимальные) издержки производства не могут превышать стоимость любого способа произвести не меньше . Но чтобы произвести ровно , можно взять чуть меньше факторов, чем (так как они дают избыток выпуска), следовательно:
Разделим неравенство на и получим неравенство на средние издержки:
Это означает:
для любого .
Следовательно, средние долгосрочные издержки строго убывают при увеличении выпуска. Убывание с ростом и есть эффект масштаба. Таким образом, при наличии возрастающей отдачи от масштаба и совершенной конкуренции на рынках факторов производства в долгосрочном периоде у фирмы обязательно существует эффект масштаба.