Находим цены одних активов через цены других
На фондовом рынке торгуется акция компании, которая в ближайшие несколько лет не будет платить дивиденды. Цена акции в текущий момент равна . Кроме того, торгуются безрисковые, бескупонные облигации со сроком погашения через год и номиналом . Доходность по ним равна годовых.
Цену акции через год обозначим за (в текущий момент она неизвестна, и ваши ответы не могут от нее зависеть). Известно, что на рынке отсутствуют возможности для арбитража, откуда следует, что портфели активов, приносящие одинаковый поток доходов через год при каждом , сегодня должны стоить одинаково. Для решения задачи записывайте, как будущий доход от того или иного контракта (возможно, отрицательный) зависит от . Все цены контрактов, которые нужно найти в задаче, –– это цены в текущий момент.
а) ( балла) Если инвестор купит у инвестора финансовый контракт , то он будет обязан купить у инвестора одну акцию компании через год по цене . Найдите цену контракта .
Будем обозначать цену контракта за .
Контракт принесет инвестору случайную величину через год. Рассмотрим два портфеля.
Портфель состоит из акции компании . Поток доходов от этого портфеля через год равен .
Портфель состоит из контракта и облигаций. Поток доходов от этого портфеля равен .
Таким образом, потоки доходов от этих двух портфелей совпадают. Значит, сегодня портфели должны стоить одинаково.
Стоимость портфеля сегодня равна . Стоимость портфеля равна . Значит, , откуда .
б) ( балла) Контракт дает своему владельцу право купить одну акцию компании через период по цене . Контракт дает своему владельцу право продать одну акцию компании через год по цене . Найдите цену контракта , если цена контракта в текущий момент равна . Подсказка: вам может помочь результат п. а).
Контракт принесет через год . Контракт принесет . Cнова рассмотрим два портфеля.
Портфель состоит из контракта . Поток доходов от этого портфеля равен .
Портфель состоит из контракта и контракта . Поток доходов от этого портфеля равен .
Таким образом, потоки доходов от этих двух портфелей совпадают. Значит, сегодня портфели должны стоить одинаково.
Стоимость портфеля сегодня равна . Стоимость портфеля равна . Отсюда .
в) ( балла) Теперь рассмотрим экзотический контракт , доход от которого зависит от будущей цены акции так, как показано на графике:
Кроме того, известны цены других контрактов, которые дают право на покупку или продажу акции компании через год по определенным ценам:
Найдите цену контракта .
Доход контракта (из графика):
.
Hайдем, какой набор контрактов принесет такой же доход через год, что и контракт . Пусть купили контрактов контрактов контрактов контрактов . Найдем такие при которых при любых значениях доход от портфеля из контрактов будет равен доходам, приведенных на графике в условии задачи.
Запишем доходы от контрактов :
Доход от контракта , доход от контракта , доход от контракта , доход от контракта .
Так как при всех потоки через год должны быть равны , получаем:
.
Отсюда . При отсутствии арбитража цены таких активов должны быть равны. А значит, цена контракта равна .
Данное решение использует отрицательное количество одного из контрактов (короткие продажи), но можно обойтись и без них. Действительно, портфель, состоящий из контракта и четырех контрактов , приносит всегда столько же, сколько портфель, состоящий из двух единиц контракта и двух единиц контракта . Отсюда можно найти .