S027

Легко доказать, что гедонисты предлагают труд при таких значениях заработной платы, которые находятся на интервале . Аналогично для трудоголиков: . . . То есть в соответствии с условием задачи ставка зарплаты, устанавливаемая правительством, находится на интервале .

. При максимальном значении мы имеем: Это означает, что месячный доход трудоголиков всегда будет выше месячного дохода гедонистов. Т.е. гедонисты при построении кривой Лоренца будут отнесены к группе «бедных». На приведенном ниже рисунке показано взаимное расположение графиков функций предложения труда гедонистов и трудоголиков.

Предположим, первоначально доля гедонистов в общем располагаемом доходе равна . Тогда кривая Лоренца для рассматриваемой страны имеет следующий вид:

Коэффициент Джини . По условию . .

. . . Пока мы не знаем, какой из этих корней удовлетворяет условиям задачи (т.е. показывает первоначальную ставку заработной платы). Поэтому примем к сведению оба. (Внимание: мы еще вернемся к этому месту в наших вычислениях).

Теперь определим, при каком значении w достигается минимальный на исследуемом интервале коэффициент Джини. Очевидно, этот минимум достигается тогда, когда минимальна относительная разница между и . В данной задаче проще всего минимизировать следующее отношение: (Разумеется, при условии, что ).

. (этот корень не отвечает ранее сформулированному условию: ).

Докажем, что при действительно достигается минимум функции . Для этого возьмем вторую производную функции и определим ее значение при .

Вторая производная положительна. Это значит, что мы получили минимум.

Теперь вернемся к этапу решения, где мы получили два значения первоначальной ставки заработной платы: , . Сейчас мы выяснили, что минимальное значение коэффициента Джини достигается при . Из условия задачи нам известно, что правительство повысило ставку заработной платы. То есть начальным значением было . Таким образом, ставка заработной платы была увеличена на денежных единиц.

Ответ : на денежных единиц.