Трудовое законодательство
Градообразующее предприятие является монополистом на внутреннем рынке товара , а также монопсонистом на рынке труда специалистов по его производству. Производственная функция имеет вид , где — число нанятых работников. Предложение труда работников задается функцией , где — зарплата. Спрос потребителей на товар зависит от фазы экономического цикла. Он задается функцией во время экономического подъема; во время спада спрос меньше в раз при каждой цене. Монополист планирует свою деятельность на следующие два года: считая, что в ближайший год будет подъем, а в следующий — спад, он определяет оптимальные цены и количество нанятых работников в каждом периоде.
а) ( баллов) Сколько работников наймет фирма в каждом периоде?
б) ( баллов) Государство изменило трудовое законодательство, чтобы защитить работников в кризис: монополисту разрешено увольнять не более работников после окончания первого года. Об этом правиле стало известно заранее, еще до начала первого года. Сколько работников наймет фирма в каждом из периодов?
в) ( балла) Допустим, благосостояние работников положительно зависит от суммы количеств работающих в первом и втором периоде. Вырастет ли благосостояние работников в результате изменения трудового законодательства, призванного защитить их?
а) Во время спада функция спроса будет иметь вид . Обратная функция спроса будет иметь вид . Выпишем прибыль как функцию от количества нанятых работников в период подъема и спада :
Как видим, прибыль является суммой двух не зависящих друг от друга слагаемых, и поэтому каждое их них можно оптимизировать по отдельности. Каждое из них задает параболу с ветвями вниз относительно своей переменной, откуда
Ответ можно найти и с помощью выписывания стандартных условий для каждого периода:
Первый период:
Второй период:
Функции убывают, а возрастают, так что найденные точки являются точками максимума.
Еще один способ – взять производную функции прибыли по обеим переменным: , откуда ; , откуда . Эти точки являются точками максимума, так как производные меняют знак с плюса на минус (вариант: вторая производная, равная в период подъема и в период спада, отрицательна).
Кроме того, с таким же успехом можно было оптимизировать прибыль по , или . В каждом из случаев функция является суммой двух квадратичных парабол.
б) В этом пункте нам нужно найти максимум той же функции , которую мы нашли выше, но при ограничении .
Легко убедиться, что самая лучшая для фирмы точка этому условию не удовлетворяет. Поскольку функция прибыли, будучи суммой двух квадратичных функций, убывает при движении в любом направлении от точки глобального максимума , максимум этой функции при ограничении достигается на границе допустимого множества, то есть когда ограничение выполняется как равенство.
При этом условии
Полученная функция одной переменной является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. Поэтому оптимальным является .
Тогда .
Максимум снова можно найти с помощью производной. , откуда . Это точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус (вариант: вторая производная отрицательна).
Также можно было выписать прибыль как функцию от .
в) В пункте а) суммарная занятость за два периода равна , а в пункте б) . Таким образом, благосостояние работников упало.
Примечание:
Примечание 1. Экономический смысл произошедшего заключатся в том, что, предвидя сложности с увольнением, монополист изначально наймет меньше работников, что и уменьшит их благосостояние.
Примечание 2. В данной задаче спрос уменьшается в несколько раз при каждой цене. Возможно ли падение благосостояния работников в результате запрета на увольнение более чем доли сотрудников, если спрос во время кризиса сдвигается параллельно вниз? (Считайте, что спрос на товар, предложение труда и производственная функция являются линейными функциями.)