Я больше не буду играть в эту игру
Девочка Элли располагает доходом и тратит его исключительно на потребление уникального товара под названием "Маги в Шогилу". Полезность Элли задается функцией , где – количество потребленных Магов в Шогилу, – цена, по которой Элли их купила. Считайте, что Элли воспринимает цену как заданную.
Маги в Шогилу продает фирма-монополист "Голлы Ралександра", его функция издержек задается как . Фирма максимизирует свою прибыль. При этом монополист может выбрать заплатить денежных единиц загадочной подруге Элли – Йонмель, которая в таком случае будет готова приобрести единиц Магов в Шогилу по той же цене, что и Элли. Если Элли приобретет единиц товара, Йонмель не купит ничего и обиженно уйдет вместе с подругой.
а) ( баллов) Выведите рыночный спрос в зависимости от .
Бюджетное ограничение Элли: или .
Промаксимизируем полезность
Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому .
Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:
Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно , т.е. она просто потратит весь свой доход.
Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:
Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от :
б) ( баллов) Определите значение , которое выберет монополист, и найдите прибыль, которую он получит.
Рассмотрим случая, в каждом из которых будем максимизировать прибыль монополиста.
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции).
Значит .
Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены:
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
Подставим найденное значение цены обратно в прибыль и промаксимизируем по :
Функция прибыли имеет вид параболы с ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
Найденное оптимальное значение не принадлежит промежутку, поэтому будем брать ближайшее допустимое, т.е.
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно , поэтому максимум – в вершине.
Подставим полученное значение обратно в прибыль:
при допустимых .
Получили, что производная всегда положительна на ограничении, значит будем выбирать наибольшее возможное .
Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает , а значит , а прибыль равна .
Ответ: , .
в) ( баллов) Предположим теперь, что деятельностью «Голлы Ралександра» недоволен верховный орган правительства – Суд Фортуны. Через особые каналы воздействия Суд Фортуны добился того, что издержки монополиста возросли до , а плата, которую необходимо отдавать Йонмель возрасла до . Определите новое равновесное значение и прибыль монополиста.
Точно так же, как и в предыдущем пункте рассмотрим случая.
,
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, значит максимум – в вершине.
Найденное оптимальное значение не принадлежит допустимому промежутку, поэтому выбираем ближайшее:
Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
Подставим найденное значение цены обратно в прибыль:
Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее:
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно , значит максимум – в вершине.
Подставим найденное значение обратно в прибыль:
Получили, что производная положительна для всех допустимых , значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное
Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при .