Тяп-Ляп
Фирма «Тяп-Ляп» действует в конкурентной отрасли, цена продукции равна 8 д. е. Известно, что производство q единиц продукции сопряжено для фирмы с издержками в размере q2 д. е. К сожалению, доля конечной продукции оказывается бракованной, а потому подлежит обязательной утилизации. Уничтожение единицы продукции обходится фирме в 2 д. е. У фирмы есть возможность снизить процент брака (величину ): чтобы доля продукции с дефектом уменьшилась на 1 пункт, необходимо инвестировать 0,25 д. е. Например, если доля продукции с дефектом составляет 30%, а «Тяп-Ляп» хочет снизить её до уровня 20%, то фирма должна будет вложить 2,5 д. е.
Для каждого определите оптимальную для фирмы стратегию снижения брака (выгодно ли вкладываться в снижение брака, если да, то на сколько пунктов).
Пусть — снижение процента брака, тогда доля продукции с дефектом составит . Задача фирмы:
(5 баллов)
Далее можно действовать двумя способами.
Способ 1:
Заметим, что прибыль является линейной функцией относительно , значит, максимум прибыли будет достигаться в крайних точках области определения (2 балла). Так как , то в оптимуме либо , либо (2 балла).
Если , то целевая функция принимает вид:
(1 балл)
Относительно выпуска это парабола с ветвями вниз (1 балл), поэтому решением является
(1 балл за каждую строчку системы)
Тогда максимум прибыли составит
(1 балл за каждую строчку системы)
Если , то целевая функция принимает вид:
(1 балл)
Относительно выпуска это парабола с ветвями вниз (1 балл), поэтому решением является q=4 (1 балл), тогда максимум прибыли составит (1 балл).
Теперь остается сравнить прибыль в двух случаях.
При сравниваем и (1 балл). Получаем, что
- при <0,6: , то есть выгодно снизить брак до 0; (1 балл)
- при =0,6: или , то есть фирме без разницы, снизить брак до нуля или не снижать вообще; (1 балл)
- при : , то есть фирме рационально не вкладываться в снижение брака. (1 балл)
При >0,8 сравниваем 0 и 16−25 (1 балл). Получаем, что при >0,8 всегда нерационально вкладываться в снижение брака, поэтому . (1 балл)
Способ 2:
График прибыли как функции от выпуска является параболой с ветвями вниз (2 балла), поэтому оптимальным выпуском является
(2 балла за первую строчку, 1 балл за вторую строчку системы)
Тогда максимум прибыли составит
(4 балла за первую строчку, 1 балл за вторую строчку системы)
При графиком зависимости максимальной прибыли от снижения брака является парабола с ветвями вверх, значит, максимум будет достигаться в одном из концов области определения (2 балла). Поэтому в оптимуме или , или (2 балла). Абсцисса вершины этой параболы . Парабола симметрична относительно прямой (1 балл), поэтому максимум прибыли будет достигаться
- в левой границе , если (т.е. если вершина правее середины отрезка);
- в правой границе , если (т.е. если вершина левее середины отрезка);
-в обоих концах, если .
Таким образом,
- при <0,6: , то есть выгодно снизить брак до 0; (1 балл)
- при =0,6: или , то есть фирме без разницы, снизить брак до нуля или не снижать вообще; (1 балл)
- при : , то есть фирме рационально не вкладываться в снижение брака. (1 балл)
При максимальная прибыль убывает по (1 балл), следовательно, для максимизации функции на отрезке необходимо брать минимальное допустимое значение : . Тогда >0,8 эквивалентно >0,8, то есть при >0,8 фирме не выгодно вкладываться в снижение брака (1 балл).