Выбираем пропорцию для салата
Поселившись в стране Вега, Юный Экономист стал питаться исключительно салатом из помидоров и огурцов. Пропорция, при которой салат имеет приемлемый для Юного Экономиста вкус, не является жестко заданной. А именно, он готов есть салат, если в нем на огурец приходится от до помидоров. Полезность порции салата, полученной из огурца и помидоров, равна для него .
Юный Экономист располагает бюджетом в размере д.е. в неделю. Один огурец стоит д.е., а помидор — вдвое дешевле. Полезность Юного Экономиста равна суммарной полезности от всех съеденных за неделю порций салата. Овощи в стране Вега бесконечно делимые.
-
Допустим, Юный Экономист решил готовить все порции салата в единой пропорции помидоров на огурец. Какое значение он выберет, максимизируя свою полезность?
-
Может ли полезность Юного Экономиста увеличиться по сравнению с пунктом 1), если он будет готовить одну часть порций салата в пропорции , а другую часть — в пропорции ?
Ответ
а) Стоимость одной порции салата составит для Юного экономиста д.e., а значит, он сможет потребить порций. Полезность от каждой порции равна , а значит итоговая полезность ЮЭ будет равна:
Нам нужно найти значение , при котором значение этого выражения максимально. Это можно сделать стандартным методом — с помощью производной. Есть и решение, не требующее знания производной: разделим числитель и знаменатель на :
Значение дроби максимально, когда знаменатель минимален. Заметим, однако, что Поэтому знаменатель минимален тогда и только когда, когда то есть . (Этот же результат можно было получить с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим)
б) Первый способ
Общие затраты на оба типа порций будут равны . Общая полезность:
Пусть и выбраны на каких-то произвольных (необязательно оптимальных) уровнях. Тогда , а расходы равны . Отсюда
Максимизируя эту функцию (она с точности до констант похожа на функцию в пункте а) получаем, что независимо от . Аналогично — ЮЭ не сможет получить больше полезности, так как он не будет пользоваться возможностью делать разные салаты.
Второй способ
Докажем, что ЮЭ не может получить полезность больше, чем в а), то есть больше, чем . Назовем «порциями первого типа» те, в которых пропорция помидоры: огурцы равна , а «порциями второго типа» те, в которых пропорция равна . Пусть ЮЭ готовит порций первого типа и порций второго типа. Обозначим его расходы на порции первого типа за , а расходы на порции второго типа — за .
Полезность ЮЭ равна
Заметим, однако, что из пункта а) мгновенно следует, что и . Поэтому
что и требовалось доказать.