Зайчик и Бельчонок
Зайчик и Бельчонок решили открыть бизнес по производству варенья из черники и шишек. Бельчонок может за час собрать 30 шишек или 4 кг черники, альтернативные издержки производства каждого продукта для него постоянны. Зайчик, не имеющий возможности собирать шишки, за час собирает 10 кг черники. При этом если сбор черники какое-то время осуществляется совместно, производительность Зайчика на этот срок увеличивается на 20 %.
-
Определите, как распределят труд и сколько варенья смогут произвести друзья из собранных за час ингредиентов, если для производства одной банки варенья требуется 5 шишек и 3 кг черники. Узнав о замысле Зайчика и Бельчонка, Медвежонок предложил им свои услуги по сбору черники. Медвежонок за час может собрать 14 кг черники, однако просит за это почасовую заработную плату в виде одной банки готового варенья.
-
Определите, примут ли Зайчик и Бельчонок это предложение, и если да, то ответьте на вопросы пункта 1), учитывая участие Медвежонка.
Решение:
- Пусть t – доля часа, которую Бельчонок собирает чернику.
Тогда всего будет собрано X = 30 (1 − t) шишек и Y = 4 t + 10 (1 − t) + 10 1,2 t = 10 + 6t кг черники.
Тогда t = (Y−10) / 6 = (30−X) / 30, откуда X = 30 − 5(Y − 10), Y 10. При Y < 10 X = 30 (это соответствует ситуации, когда Бельчонок собирает только шишки). Эти условия задают КПВ (+2 балла).
Производственная функция варенья . При подстановке уравнения 3X = 5Y в КПВ получаем 4X = 80,X = 20, Y = 12. Таким образом, Бельчонок соберёт 20 шишек и кг черники (+1 балл), а Зайчик – кг черники (+1 балл).
Будет произведено 4 банки варенья (+1 балл).
Решение этого пункта может быть записано в форме рассуждений без применения формул. Оптимизируем время на изготовление одной банки. Все шишки для неё будет собирать Бельчонок, ему на это потребуется 5/30 часа = 10 минут. За это время Зайчик соберёт 5/3 кг черники, останется собрать ещё 4/3 кг. При совместной работе их скорость достигает 16 кг/ч, т. е. на сбор 4/3 кг потребуется (4/3):16 = 1/12 часа = 5 минут. Так что всего на сбор ингредиентов для банки нужно 15 минут, а за час они произведут 4 банки.
- Подключение Медвежонка приводит к смещению КПВ на 14 единиц вправо. Новый вид КПВ: X = 30 − 5((Y − 14) − 10) = 30 − 5(Y − 24), Y 24 и X = 30, Y < 24 (+2 балла).
При подстановке уравнения 3X = 5Y получаем 4X = 150, X = 37,5. Поскольку Бельчонок не в состоянии собирать такое количество шишек, оптимум достигается при X = 30, что позволит произвести 6 банок варенья (+2 балла).
После выплаты зарплаты Медвежонку в размере 1 банки у Зайчика и Бельчонка останется 5 банок. Таким образом, предложение Медвежонка будет принято, Бельчонок целиком переключится на шишки (+1 балл),
Зайчик и Медвежонок на двоих должны собрать не менее 18 кг черники (+1 балл). Аналогично в данном пункте также можно рассуждать. Из-за ограничений Бельчонка по сбору шишек больше 6 банок произвести не удастся, а 6 точно можно произвести, так как Зайчик и Медвежонок, работая вместе, произведут чернику с запасом. Предложение Медвежонка при этом будет принято.