Задача 2. МЭ ПОШ – 2020 (10-11 класс)
Британский агент может производить шпионские гаджеты и виджеты . Для производства единицы гаджета и виджета требуется один час. Всего у агента есть часов. При этом как только агент произвел виджетов — он научился делать их лучше. Каждый виджет после -го агент производит всего за полчаса. К сожалению, производству гаджетов сложнее обучиться, поэтому увеличение производительности происходит позже: каждую единицу гаджетов после -й агент сможет производить за полчаса.
а) ( баллов) Задайте уравнение кривой производственных возможностей агента, а также постройте ее график (отмечая все ключевые точки). Не забудьте обосновать Ваше решение.
Решение .
Для начала запишем первый вариант: мы производим и более единиц гаджетов. Тогда виджетов мы производим не более (ввиду того, что мы потратили часов на гаджеты, у нас осталось часов на виджеты). А значит, производительность виджетов низкая. Мы уже потратили единиц труда на производство гаджетов. Теперь один гаджет мы производим за полчаса, один виджет — за час. Из оставшихся часов мы сможем максимально произвести единиц гаджетов. Ввиду постоянной производительности получаем линейный участок КПВ . [ балл].
Аналогично решаем для случая, когда мы производим и более единиц виджетов. Тогда мы уже потратили единиц труда на виджеты. А значит, гаджеты мы производим с низкой производительностью. Теперь один виджет мы производим за полчаса, один гаджет — за час. Из оставшихся часов мы сможем максимально произвести единиц виджетов. Ввиду постоянной производительности получаем линейный участок КПВ . [ балл].
Тогда итоговая КПВ будет иметь вид:
[ балла]
График КПВ:
Решение .
Суммарно у нас есть часов. Пусть — количество часов, которое мы тратим на производство гаджетов, и — количество часов, которое мы тратим на производство виджетов. Тогда . Теперь выведем зависимости произведенных гаджетов и виджетов от количества труда:
Рассмотрим поподробнее случай (при ). Данная запись обозначает, что мы произвели единиц, а все последующие мы производим с удвоенной производительностью. Аналогично для .
Упростим выражение:
Заметим, что если , то , и наоборот. А значит, у нас не получится ситуация, когда мы оба товара производим эффективно или неэффективно, — мы всегда будем производить эффективно только один из товаров.
Случай . Тратим на не менее часов, а на тогда не более часов. Значит, мы эффективно производим гаджеты:
Случай . Тратим на не менее часов, а на тогда не более часов. Значит, мы эффективно производим виджеты:
Тогда получаем итоговую КПВ:
График КПВ:
Решение .
Суммарно у нас есть часов. Пусть — количество часов, которое мы тратим на производство гаджетов, и — количество часов, которое мы тратим на производство виджетов. Тогда . А значит, если у нас нет изменений в производительности, мы будем иметь КПВ: .
Построим ее график:
Теперь определим, что, если мы стоим в точке по гаджетам, мы можем начать производить гаджеты с улучшенной производительностью: в раза больше за то же время. Виджеты при этом мы будем производить как и раньше — за час. Тогда наклон КПВ после точки уменьшится в два раза (данный эффект вогнутой КПВ возникает в силу того, что альтернативные издержки падают из-за повышения производительности):
Будем рассуждать аналогично для виджетов. В точке по виджетам мы можем начать производить виджеты с улучшенной производительностью: в раза больше за то же время. Гаджеты при этом мы будем производить как и раньше — за час. Тогда наклон КПВ перед точкой увеличится в два раза (данный эффект вогнутой КПВ возникает в силу того, что альтернативные издержки падают из-за повышения производительности):
Совмещая данные случаи, приходим к итоговому виду КПВ:
Или же
Далее запишем уравнение КПВ:
б) ( баллов) Предположим, что агенту пришло извещение из Центра, что нужно произвести максимальное количество гаджетов и виджетов, но так, чтобы на каждый гаджет приходилось виджета. Найдите максимальное количество гаджетов и виджетов, которое сможет произвести агент.
В прошлом пункте мы получили уравнение КПВ:
Тогда заметим, что виджетов нам нужно в раза больше, чем гаджетов. Получаем, что нам необходимо производить гаджеты и виджеты в следующей пропорции: (если соотношение было записано неверно, пункт оценивается в баллов). Пересекаем данный луч с КПВ, получаем:
Таким образом, луч пересекает КПВ на первом участке, где (если нет обоснования, что луч пересекает именно на первом участке, а не на втором, снимается балла).
Таким образом, мы получили оптимальное число гаджетов — . Тогда оптимальное число виджетов в два раза больше — .
(За каждую арифметическую ошибку снимается балл.)
Ответ: гаджетов и виджетов.