Джини и Робин Гуд - 2
Как вы знаете, помимо индекса Джини существует ещё один показатель неравенства доходов — индекс Робин Гуда . Он показывает, какая минимальная доля суммарного дохода должна быть перераспределена от более богатых к бедным, чтобы в обществе наступило полное равенство.
Учитывая, что индекс Робин Гуда можно вычислить как максимальное вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства, докажите, что для любых распределений дохода выполняются неравенства:
.
Ответ
Общение сведения:
Индекс Джини определяется как
где - площадь области между диагональю и кривой Лоренца.
Индекс Робин Гуда H можно вычислить как максимальное вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства:
где - уравнение кривой Лоренца, - вертикальное расстояние между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца.
Верхняя оценка: .
Из метода расчёта индекса Робин Гуда имеем неравенство:
для всех .
Это означает, что график функции целиком лежит под горизонтальной прямой . Следовательно, площадь под графиком на отрезке не превосходит площади прямоугольника ширины и высоты , откуда следует что
.
или .
Нижняя оценка: .
Кривая Лоренца по определению выпукла вверх: её график лежит не выше любой своей хорды.
Понимая, что и кривая Лоренца по определению выпукла вверх, - вогнутая функция (разность линейной функции и выпуклой функции).
Обозначим точку, в которой достигает максимума, через , т.е. .
Рассмотрим три точки на графике :
Из вогнутости d(x) следует:
на отрезке график лежит не ниже хорды ;
на отрезке график лежит не ниже хорды .
Значит, площадь под графиком на не меньше площади под ломаной, проходящей через точки , а последняя равна площади треугольника .
У треугольника основание по оси равно (от до ), а высота по оси y равна . Поэтому его площадь равна
Так как график не ниже ломаной, площадь под графиком не меньше . Откуда
Вывод: для любых допустимых кривых Лоренца всегда выполнится неравенство .