Задача про сухарики
Фирма предпринимателя Мучникова выпекает хлеб «Бородинский» и продает его на совершенно конкурентном рынке по цене 12 руб. за буханку. Затраты на производство хлеба описываются функцией . Часть выпеченного хлеба не поступает в продажу, а используется для производства сухариков «Наполеоновских». Из одной буханки хлеба, потратив всего 18 руб., получают 5 пачек сухариков. Особый, изысканный вкус сухариков «Наполеоновских», изготовленных по старинному французскому рецепту, давно принес фирме известность и рыночную власть – спрос на сухарики описывается уравнением . В какой пропорции предпринимателю Мучникову следует разделить выпекаемый фирмой хлеб между использованием в производстве сухариков и продажей?
Ответ
Найдем функцию предельного дохода фирмы от производства Q-той единицы хлеба .
Допустим, фирма решила, что некоторую (по счету) буханку хлеба производить выгодно, и произвела ее. Если она продаст ее, то получит 12 руб. Найдем, сколько фирма получит в случае, если она решит сделать из нее сухарики.
Пусть - общее количество буханок хлеба (включая нашу, последнюю буханку), которое пошло на изготовление сухариков, и - количество и цена сухариков. Тогда
Итак, если фирма направит эту буханку на производство сухариков Q1-ой по счету, то предельный прирост выручки составит руб. Не забудем, однако, что на изготовление сухариков из этой буханки фирма потратит 18 руб. В итоге предельная выгода фирмы составит руб.
Теперь представим себе, что фирма еще не произвела ни одной буханки. Куда она направит первые из них – на производство сухариков или на продажу? Видно, что при малых Q1 , то есть направлять хлеб на производство сухариков выгоднее. Фирма будет делать сухарики, пока Q1 не вырастет настолько, что предельные выгоды от двух вариантов использования хлеба сравняются. Найдем это «критическое . В дальнейшем фирма будет продавать хлеб, так как это будет приносить большую предельную выгоду, чем производство сухариков.
Таким образом, функция MR(Q) имеет вид
Итак, фирма произведет в общей сложности 500 буханок хлеба, из которых 300 направит на изготовление сухариков, а 200 – продаст.
Ответ:
3:2.
Примечание:
- При нахождении MRsu(Q1) была использована производная, то есть в задаче предполагалось, что количество хлеба может выражаться не только целым числом. Поэтому чисто математически под словами
- «Q1-ая по счету буханка» следует понимать бесконечно малый прирост производства хлеба, «стартующий» из точки Q1.
- При определении наиболее выгодного использования конкретной буханки хлеба мы считали, что эта буханка уже произведена и абстрагировались от предельных издержек ее производства именно потому, что мы искали функцию предельного дохода.
- Одной из самых распространенных ошибок при решении этой задачи было «Q1=5Qsu» вместо правильного
«Q1=Qsu/5». Будьте внимательны!