Задача 1 ОЧ-2016 (10 класс)
На рынке совершенной конкуренции в стране Ботанляндия спрос студентов на учебники имеет вид , где – величина спроса в штуках, а – цена учебника в рублях.
Король страны решил нажиться на бедных школьниках и студентах и ввести налог в виде процента от цены покупателя (акциз).
До введения налога эластичность спроса в точке равновесия равнялась , эластичность предложения (функция которого является линейной) до введения налога по абсолютной величине превышала эластичность спроса в раз, где – величина введенного позднее акциза
После введения акциза эластичность предложения стала равна , а равновесный объем упал на единицы.
- Сколько денег собрал король с помощью налога?
- Может ли король изменить каким-либо образом налоговую ставку так, чтобы увеличить сборы?
Эластичностью спроса по цене называется следующая величина: аналогично эластичность предложения равна
Ответ
- Эластичность спроса вычисляется по формуле (допускается также поиск через т.н. геометрический смысл эластичности):
Откуда:
Тогда:
Функция предложения линейна. Обозначим её как
В исходной точке эластичность:
В полученной точке: (подставляем цену для продавцов)
Откуда: .
Тогда налогов король собрал следующую сумму:
2. Может. В качестве обоснования можно привести любой подходящий пример с обоснованием.
Функция предложения (находится из вышеуказанных уравнений):
Функция спроса:
Пусть он, например, введёт потоварный налог в размере единиц ((или акцизный в размере ) – соответствует наибольшему налоговому сбору.
Тогда .
Налоговые сборы равны .
В качестве ответа годится любой иной обоснованный пример, показывающий, что ставка не является оптимальной.