Задача 2 ОЧ-2014 (10-11 класс). Пароходы
Фирма Паровой гигант является монопольным производителем пароходов. У фирмы есть семь потенциальных покупателей, каждый из которых раздумывает над покупкой одного парохода. Максимальная цена, которую первый покупатель согласен заплатить за пароход, составляет тыс. дублонов. Второй покупатель согласен заплатить за пароход не более тыс. дублонов. Третий — не более тыс. дублонов. Четвёртый — не более тыс. дублонов. Пятый — не более тыс. дублонов. Шестой — не более тыс. дублонов. Наконец, седьмой согласен заплатить за пароход максимум тыс. дублонов.
Фирма располагает заводом по производству пароходов, общие издержки которого следующим образом зависят от объема производства:
Фирма обязана устанавливать одинаковую цену для всех покупателей.
а) Какую цену следует установить фирме и сколько пароходов произвести для того, чтобы получить максимальную прибыль? Чему равна эта максимальная прибыль?
б) Теперь у фирмы Паровой гигант появилась возможность арендовать второй завод. Издержки на втором заводе следующим образом зависят от объёма производства:
Фирма может производить часть кораблей на первом заводе, часть — на втором, в любой комбинации на своё усмотрение. Какую максимальную цену согласится заплатить фирма Паровой гигант за аренду второго завода?
Ответ
а) Представим прибыль компании, которую она может получить при выборе разных объёмов выпуска, в виде сводной таблицы:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Количество} & \text{Общие издержки} & \text{Цена} & \text{Выручка = Количество Цена} & \text{Прибыль = Выручка - Издержки} \ \hline 1 & 20 & 210 & 210 & 190 \ \hline 2 & 80 & 180 & 360 & 280 \ \hline 3 & 170 & 160 & 480 & \textcolor{red}{310} \ \hline 4 & 300 & 140 & 560 & 260 \ \hline 5 & 450 & 120 & 600 & 150 \ \hline 6 & 600 & 100 & 600 & 0 \ \hline 7 & 750 & 80 & 560 & -190 \ \hline \end{array}$ Из таблицы видно, что максимальная прибыль равна тыс. дублонов. Она достигается при объеме выпуска, равном пароходам, и цене в тысяч дублонов за один пароход.
б) Посмотрим, какую прибыль может получить компания, если она использует два завода.
При этом отметим, что первый пароход в этом случае следует производить на втором заводе, так как издержки производства первой единицы продукции на этом заводе меньше .
При производстве двух пароходов оптимально производить один пароход на первом заводе и один — на втором, так как в этом случае суммарные затраты составят (в то время, как если оба парохода производить на одном заводе, общие издержки будут или , или , в зависимости от того, на каком из заводов осуществляется производство).
По аналогии легко понять, что при производстве трех пароходов следует производить пароход на первом заводе и два — на втором. При этом издержки составят . И так далее.
Теперь представим прибыль компании, которую она может получить при выборе разных объёмов выпуска, в виде сводной таблицы:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Количество} & \text{Общие издержки} & \text{Цена} & \text{Выручка = Количество Цена} & \text{Прибыль = Выручка - Издержки} \ \hline 1 & 10 & 210 & 210 & 200 \ \hline 2 & 30 & 180 & 360 & 330 \ \hline 3 & 80 & 160 & 480 & 400 \ \hline 4 & 140 & 140 & 560 & \textcolor{red}{420} \ \hline 5 & 230 & 120 & 600 & 370 \ \hline 6 & 330 & 100 & 600 & 270 \ \hline 7 & 430 & 80 & 560 & 130 \ \hline \end{array}$ Из таблицы видно, что максимальная прибыль равна тыс. дублонов. Она достигается при объёме выпуска, равном пароходам, и цене в тысяч дублонов за один пароход.
Видно, что использование завода позволяет увеличить прибыль компании на тысяч дублонов. Это и есть максимальная цена, которую согласится заплатить фирма за аренду второго завода.