В чём польза брака?
Почему люди женятся? Любовь? А может, экономическая выгода? В этой задаче вам предстоит ответить на этот вопрос с точки зрения экономиста.
У каждого человека есть часов, которые он может распределить между работой в офисе за зарплату и временем дома. Работа в офисе приносит зарплату за каждый час работы, и эти деньги можно потратить на потребление товаров и услуг . Считайте, что уровень цен равен . Чем больше времени человек проводит дома, тем чище, уютнее и красивее становится дом. Обозначим «уютность» дома . Если человек проводит дома часов, то уютность дома равна .
Интересный факт. Учёба на совместном бакалавриате ВШЭ и РЭШ позволит вам посмотреть на брак и любовь глазами антрополога (а ещё узнать, почему распространяются фейки и откуда берётся блат).
а) Пусть индивид хочет сделать максимальным своё удовлетворение от жизни . Найдите оптимальное индивидуальное распределение времени для человека. Чему будет равна уютность в доме и величина потребления ?
б) Как изменятся ваши ответы, если зарплата индивида вырастет до ? Объясните интуитивно, почему при росте заработной платы распределение времени между работой и домом, а также величина потребления и уютность в доме меняются именно так.
в) Пусть мужчина и женщина с одинаковой зарплатой размышляют, вступить ли им в брак. Если они вступят в брак, то уютность дома будет общей для мужа и жены. Когда муж проводит дома время, а жена -- время , уютность дома равна .Расходы на потребление товаров и услуг у молодожёнов остаются раздельными. При каких значениях молодожёны могут договориться о таком распределении времени, чтобы им было выгодно вступить в брак? Считайте, что если молодожёны договорились о чём-то, они будут следовать договорённости, ведь они любят друг друга :).
г) Как изменится ваш ответ, если зарплаты мужчины и женщины не равны? Покажите математически и объясните интуитивно, как будет зависеть ваш ответ от дохода потенциальных супругов.
д) Пусть теперь зарплата мужа равна , зарплата жены равна , а уют в доме в случае брака можно определить по формуле , где . Как зависит решение о вступлении в брак от параметра ? Объясните эту зависимость интуитивно.}
Примечание. Если , то . Если , то .
Ответ
а) Решим задачу в несколько более общем виде, чем это представлено в задании. От участников это не требовалось. Обозначим время на работе и дома как и соответственно. Тогда ограничение, с которым сталкивается одинокий человек, можно записать как . Уютность в доме определяется как , где . Величина потребления зависит от зарплаты и часов работы: . Значит, мы можем записать удовлетворение от жизни . Заметим, что удовлетворение от жизни представляет собой параболу с ветвями вниз относительно , поэтому чтобы максимизировать удовлетворение от жизни нужно найти вершину параболы. Значит, оптимальное время дома . Тогда время на работе . Подсчитаем уютность в доме и потребление . Подставим параметры из условия, получим , , .
б) Воспользуемся расчётами из предыдущего пункта. Получим , , . Заметим, что изменилось только потребление. Повышение заработной платы позволило человеку больше потреблять, но распределение времени между временем дома и на работе не изменилось. Так получилось, потому что по мере повышения потребления то же количество досуга приносит больше удовольствия, и наоборот.
в) При любом супругам выгодно вступить в брак. До брака удовлетворение от жизни у каждого из них не превышало , где . Если после брака супруги не изменят распределение времени между работой и домом, они получат , что делает вступление в брак выгодным.
г) Ответ не изменится. Важная особенность задачи — это то, что проведённое время дома приносит супругам больше удовлетворения после вступления в брак. До этого супруг с зарплатой получал удовольствие не более , где , проводя дома часов. После вступления в брак, проводя столько же времени дома и договорившись с супругой он будет получать .
д) Брак выгоден при , а при супругам безразлично, вступать в брак или нет. При вступление в брак не будет выгодным для супругов. Заметим, что оптимальное распределение времени между работой и домом не изменится. Поэтому после вступления в брак удовлетворение от жизни . Ясно, что тогда и только тогда, когда , где . Результат довольно интуитивный — если дома после брака стало приятнее, то брак того стоит, а если наоборот, то брак — сомнительная затея.
Примечание:
Конкурсанты могут задуматься о том, что не учитывает предложенная простая модель. Например, модель не учитывает тот факт, что карьерные возможности и зарплата зависят от того, насколько много человек готов работать.
Каждый пункт оценивается максимально в 4 балла.