В магазин!
Сколько раз в месяц оптимально ходить в магазин? С одной стороны, каждый поход независимо от количества купленного требует затрат сил и времени, и потому ходить слишком часто неоптимально. С другой стороны, если ходить, скажем, всего 1 раз в месяц, общий вес купленных товаров будет неподъемным (особенно если нет автомобиля). В данной задаче вам предлагается рассмотреть модель этого компромиссного выбора (trade-off).
С наступлением холодов Алексей начинает кормить синиц семечками. Если вес купленных семечек равен кг, величина усилий на поход в магазин составляет условных единиц усилий.
Допустим, в месяц необходимо купить 30 кг семечек (птицы прожорливы). Алексей минимизирует общую величину усилий на походы в магазин, то есть сумму e(x) за все походы. Если каждый раз Алексей покупает одно и то же количество семечек, сколько раз в месяц оптимально ходить в магазин?
Ответ
Пусть Алексей ходит в магазин n раз и покупает по x кг за раз. Тогда общая величина усилий на все походы составит . При этом nx = 30 в силу условия о спросе синиц на семечки.
Таким образом, Алексею нужно минимизировать по двум переменным и при условии , при условии x > 0, а также при условии, что является натуральным числом.
Выражая, например, , получаем, что . Подставляя это условие в целевую функцию, получаем, что суммарная величина усилий составляет
Значение этого выражения минимально, когда минимальное значение выражения . Его можно минимизировать двумя способами.
Способ 1. В силу неравенства среднего арифметического и среднего геометрического знаем, что . При этом равенство достигается, когда , откуда . Действительно,, значит это точка минимума.
Способ 2. Возьмем производную и приравняем ее к нулю. , откуда . Значение функции также изменяется на знак с минуса на плюс, значит это действительно точка минимума.
Значит, . Это натуральное число, так что мы действительно нашли оптимум, удовлетворяющий всем ограничениям. Таким образом, оптимально ходить в магазин 6 раз и покупать по 5 кг семечек