Задание 4. Олимпиада Колокольникова 2024 (7 класс)
Покорение Сибири
В двух сибирских городах, Тюмени и Тобольске, торгуют изделиями из кости мамонта. Спрос на изделия в Тюмени задается уравнением , предложение . В Тобольске спрос задан функцией , а предложение . Торговля между городами отсутствует.
а) ( баллов) Найдите цены на изделия в обоих городах.
Найдем первоначальные цены, приравняв спрос и предложение в городах.
( балл за упоминание и/или использование равенства спроса и предложения)
( балла)
( балла)
б) ( баллов) Между городами проложили торговый путь. Какой теперь будет цена на изделия?
В Сибирь приплыл Ермак и решил налаживать экономику региона. Для этого он ввел потолок цен на торговлю между городами на уровне .
Теперь между городами есть торговля, следовательно, нужно сложить спросы и предложения. Заметим, что в Тюмени неотрицательный спрос при ценах ниже в , Тобольске при ценах ниже , а также наименьшие цены, при которых производители будут продавать изделия в двух городах, соответственно равны и .
Следовательно, общий спрос будет равен
( балла, из которых за ограничения) при ,
а общее предложение равно
( балла, из которых за ограничения) при .
Приравняем спрос и предложение:
( балла), а значит, условие удовлетворяется.
в) ( балла) Найдите новое равновесие в каждом городе.
Ермак установил цену на торговлю на уровне ниже, чем изначальные равновесные, значит, торговля не выгодна продавцам обоих городов и торговли между городами не будет. Тогда получаем равновесия как в первом пункте. ( балла за обоснование)
Тюмень - ( балл)
Тобольск - ( балл)
г) ( баллов) Как и на сколько изменилось общественное благосостояние в регионе после прихода Ермака?
Для справки. Величина общественного благосостояния равна сумме излишка потребителей и излишка производителей .
Посчитаем общественное благосостояние в условиях торговли и при ее отсутствии.
Сначала посчитаем общественное благосостояние в условиях торговли:
Тогда
( балла, но если лишь часть излишков посчитана верно, то ставится балл)
Теперь посчитаем общественное благосостояние после прекращения торговли:
Тогда ( балла, но если лишь часть излишков посчитана верно, то ставится балл)
Значит, искомое то есть общественное благосостояние уменьшится на ( балл)