Задание 4. Олимпиада Колокольникова 2024 (8 класс)
Линейный монополист
В линейном городе роскошного чая, который представляет из себя отрезок длины с координатами , действует фирма-монополист. Злой правитель давно держит обиду на монополиста, поэтому хочет расположить фирму в точке с координатой , где , а спрос на продукцию монополиста в этой точке будет равен . Издержки производства монополиста заданы функцией . Монополист максимизирует свою прибыль, а злой правитель стремится минимизировать её.
а) ( баллов) Выведите функцию, которая будет показывать желаемый выпуск монополиста при разных положениях фирмы. Другими словами, найдите зависимость .
Ответ
Запишем функцию прибыли монополиста, считая заданной, так как на её выбор выбор он повлиять не может.
( балла за верное выражение для максимизации)
График этой функции - парабола ветвями вниз, следовательно, в силу свойств параболы максимум функции достигается в вершине, то есть оптимальным будет ( балла) Но при оптимальный выпуск монополиста является отрицательным, то есть точка оптимума недостижима, тогда в силу свойств параболы из доступных точек максимум функции будет в ближайшей к вершине точке, то есть в точке ( балл за упоминание ограничений). Тогда:
при
при ( балла за функцию с ограничениями)
б) ( баллов) Какие значения будут удовлетворять злого правителя?
Предположим, что правитель послушал приятную музыку и стал добрым. Теперь он выбирает такое место, чтобы прибыль монополиста была наибольшей.
Ответ
Подставим в функцию прибыли монополиста, чтобы получить зависимость . ( балла за рассмотрение обоих случаев)
:
:
при . То есть при монополист получает , что больше, чем в случае , а значит, не удовлетворяет злого правителя. При этом при монополист получает . Проанализировав все случаи, мы получили, что минимальная прибыль равна нулю и достигается при . ( балла)
в) ( баллов) Какую координату расположения теперь выберет правитель для фирмы? Найдите количество и цену, которую установит монополист.
Ответ
Заметим, что функция не меняется по сравнению с пунктом б). Тогда добрый правитель точно откажется от выбора ( балл за определение участка выбранного ), так как при монополист получит .
Тогда .
Но заметим, что при увеличении при функция будет расти ( балл), так как квадрат положительного числа больше квадрата меньшего положительного числа. Тогда добрый правитель выберет максимальное доступное , то есть . ( балл)
Значит, , . (по баллу за величину)