А спрос-то не линейный!
Фирма-монополист недавно начала работать на новом рынке и пока не знает точно кривую спроса на свой товар. Назначив в январе цену 20, она продала 3 единицы продукции. Назначив в феврале цену 5, она продала 48 единиц. Предположив, что месячный спрос на продукцию фирмы линейный, менеджер восстановил уравнение спроса по этим двум точкам, а затем назначил цену в марте, оптимальную для этой линейной кривой спроса. Функция издержек фирмы задается уравнением .
В действительности же функция месячного спроса на этот товар не линейная, а обладает постоянной эластичностью. (Иными словами, спрос описывается уравнением для каких-то и , и эластичность спроса как раз постоянна и равна . В марте фирма произвела и продала объем, фактически требовавшийся потребителям по назначенной фирмой цене.) Определите, какую долю от максимальной возможной прибыли недополучила фирма в марте из-за неверного предположения о линейности спроса.
Ответ
Выведем функцию линейного спроса по двум точкам. Пусть спрос задается функцией . Например, составим и решим систему уравнений:
Решив ее, получаем .
Определим, какую цену назначил менеджер в марте (оптимальную для не настоящего линейного спроса). Составим функцию прибыли для этого спроса:
Оптимальный выпуск находится в вершине параболы, . Значит, оптимальная цена .
Заметим, что можно было сразу максимизировать прибыль по . Действительно, . Эта парабола с ветвями вниз, вершина находится посредине между корнями. Значит, , получили тот же ответ.
Далее найдем истинную функцию спроса по двум точкам. Для этого составим систему:
Разделив второе уравнение на первое, получаем , откуда . Значит, . Итак, настоящая функция спроса описывается уравнением**
Менеджер назначил цену , значит, в марте потребители захотели купить
Фактическая прибыль фирмы составила:
Осталось рассчитать максимально возможную прибыль. Настоящая функция прибыли фирмы (от ) имеет вид:
Сделав замену , получаем параболу с ветвями вниз:
Оптимальное (t) находится в вершине: , откуда . Фирме для максимизации прибыли нужно было назначить цену 6, а не 12.
Также эту цену можно было найти из формулы индекса Лернера:
Кроме того, можно было максимизировать прибыль по :
После замены , получаем параболу с ветвями вниз:
Вершина , следовательно, .
Максимально возможная прибыль равна 100. Значит, фирма недополучила 25% прибыли из-за неверного предположения о линейности спроса (и, как следствие, неверного ценообразования):
Ответ: 25%.