Уклонение от налогов
век. "Объединенная звездолетостроительная корпорация" производит гражданские звездолеты нового поколения. В году фирма произвела и продала звездолетов, что являлось максимально возможным для нее объемом производства.
В году инженеры нашли способ увеличить максимальный годовой объем производства на звездолет; фирма воспользовалась этим способом, продав звездолетов.
В ходе аудита выяснилось, что себестоимость (средние издержки) производства одного звездолета выросла в году на млн руб. по сравнению с годом.
При этом функция издержек была в и году одной и той же. Обратная функция спроса на звездолеты также не менялась, при этом известно, что она является нестрого убывающей. Фирма не осуществляет ценовую дискриминацию. В году компания отчиталась о чистой прибыли (до налогообложения) в размере млрд руб.
Считая, что остальные данные верны, докажите, что фирма в отчете занизила уровень прибыли в году. Какую сумму, как минимум, недополучил бюджет в виде налога на прибыль в году, если ставка налога равна ?
(Считайте, что количество звездолетов может быть только целым числом.)
Ответ
Ключевая идея: поскольку фирма воспользовалась предложением инженеров и произвела -ый звездолет, .
Нам нужно из этого неравенства как-то получить неравенство на общую прибыль фирмы. Поэтому найдем, как в случае целочисленного выпуска связаны между собой величины, и , и .
Аналогично получаем, что
Значит, неравенство перепишется как
Или:
Значит,
Величина является неотрицательной, так как функция спроса убывает; из условия.
Окончательно получаем, что
Поскольку фирма указала в отчете , она занизила уровень прибыли.
Граница достигается, например, если
для некого и независимо от . В этом случае все данные из условия (, оптимальные объёмы в и году равны и соответственно) выполнены, и при этом .
Значит, минимальная недополученная сумма налога равна млрд. руб. (Налог на прибыль никак не влияет на максимизационную задачу фирмы, и поэтому выше мы его не вводили явно.)
Ответ: млн. руб.
Альтернативное решение: вместо можно было записать эквивалентное условие , и непосредственно работать с этим неравенством.
На это второе решение никак не влияет целочисленность. Действительно, можно доказать, что если есть два выпуска и , не обязательно целые, но такие, что , то
Или: