Зависимые КПВ
а) Даны два завода, такие, что на первом производственные возможности описываются уравнением , а на втором - где - количество товара , произведенного на - ом заводе, а - количество товара , произведенного на - ом заводе. Найдите общее КПВ двух заводов.
б) Пусть теперь производство описывается уравнениями и Найдите КПВ двух заводов.
Ответ
Общие соображения. Пусть КПВ второго завода описывается уравнением . Пусть , тогда для каждого заданного промаксимизируем . Возьмём производную по . Это действительно максимум, так как вторая производная, очевидно, меньше нуля, а граничные условия мы проверим после. Значит , а . Запишем ограничения и , остальные ограничения тривиально выполняются, хотя их и надо проверить.
а) . Тогда из ограничений , значит на КПВ лежит точка , а остальные точки находятся из граничных условий (которых четыре штуки).
1) , тогда .
2) тогда .
3) тогда .
4) тогда .
Осталось лишь аккуратно проверить применимость полученных прямых (проверить их границы) и получить, что самая высокая кривая - , она и будет КПВ.
б) . Проводя абсолютно аналогичные рассуждения, получим КПВ
Ответ:
а)
б)