Оптимальная субсидия на основе данных
В жизни экономистам зачастую неизвестны функции спроса, предложения, полезности –– всё то, что обычно дано в задачах по экономике. Для анализа рынков в реальности используются данные о ценах, объемах, числе фирм, характеристиках товаров и т. д. Здесь мы рассмотрим, как можно (и можно ли) извлечь информацию об оптимальной экономической политике непосредственно из данных о ценах и объемах.
Рассмотрим монополиста, средние издержки производства которого постоянны и равны , а обратная функция спроса на товар описывается уравнением , где , . Государство хотело бы выплачивать фирме потоварную субсидию за каждую проданную единицу товара так, чтобы выпуск фирмы вырос до уровня, соответствующего рынку совершенной конкуренции с таким же спросом и такими же издержками. Обозначим необходимую для этого ставку субсидии за .
а) ( балла) Найдите как функцию от параметров и .
Монопольный выпуск при наличии субсидии равен , а цена равна , поэтому чтобы получить , надо установить субсидию .
б) ( балла) Государство знает вид функций спроса и издержек, но не знает значений параметров . Вместо этого оно наблюдает изначальный объем на рынке (когда субсидии нет). Кроме того, в каждом следующем периоде оно вводит субсидию по известной ему ставке и наблюдает рыночный объем выпуска . Цены государство не наблюдает. Верно ли, что в конце некого периода у государства накопится достаточно данных, чтобы однозначно определить ? Если да, то найдите минимальное , при котором это так (обозначьте его за ), и приведите формулу, по которой государство может определить как функцию от величин, известных в конце периода . Считайте, что ситуация, при которой выпуск фирмы равен максимальному уровню , заведомо не возникает. Кроме того, фирма максимизирует прибыль в каждом периоде стандартным образом и не пытается, выбирая объем выпуска, стратегически повлиять на будущие ставки субсидии.
Наблюдая рынок при (без субсидии, т.е. ) и при (с субсидией ), можно составить систему уравнений . Разделив одно уравнение на другое, мы можем вычислить оптимальную субсидию:
.
При этом данных только нулевого периода не хватит. Действительно, зная только значение , нельзя определить, чему равно .
Следовательно, .
Также доказать невозможность нахождения при можно через контрпример (для разных параметров и разной оптимальной субсидии будут одинаковые выпуски и цены). Например,
в) ( балла) Решите пункт б), если вместо объемов государство наблюдает цены, уплачиваемые потребителями:
Наблюдая рынок при , получаем уравнение . Из него нельзя найти . Далее, наблюдая рынок при любой субсидии , мы видим цену , которую и так можем вычислить, т.е. новые наблюдения не дают новой информации. Так мы никогда и не узнаем величины , сколько бы ни наблюдали.
г) ( балла) Решите пункт б), если государство в каждый период времени наблюдает и объемы выпуска, и цены.
Наблюдая рынок только при , мы получаем систему уравнений ,. Этих данных недостаточно, чтобы определить . Действительно, если, например, увеличить и уменьшить на одну и ту же малую величину , а затем изменить параметр так, чтобы оставалось в силе, то останутся в силе оба уравнения , , но оптимальная ставка будет другой (увеличится на ).
Так что придётся установить субсидию в и наблюдать и . По доказанному в пункте б), только данных об объемах за периода уже будет достаточно. Значит .