Гулливер и лилипуты
Гулливер открывает в Лилипутии совершенно конкурентное предприятие по производству маленьких учебников по экономике. Единственный фактор производства - труд, который предоставляют сами лилипуты. Известно, что производственная функция, имеет вид , а постоянные издержки равны 0.
На рынке учебников по экономике установилась равновесная цена на уровне лилифунта.
Лилипуты – необычный народ, они сами устанавливают заработную плату, которую хотят получать. Причём они делают это исходя из полученного удовлетворения от работы, его лилипуты хотят получить как можно больше: , где ' ' – функция общего удовлетворения одного работника, ' ' – коэффициент счастья, а ' ' – ставка заработной платы, .
Гулливер может устроить на предприятии олимпиаду по экономике, затратив некоторое количество лилифунтов, от участия в которой лилипуты станут очень счастливы: коэффициент счастья ' ' станет равен 2. Если же Гулливер поскупится и не устроит олимпиаду, лилипуты будут несчастны ( ).
Определите, какую максимальную сумму Гулливер готов заплатить за проведение олимпиады, учитывая, что его цель – максимизация прибыли.
Ответ
Зная производственную функцию, определим , как :
. Фирма - совершенный конкурент, поэтому .
Теперь нужно определить заработную плату в обоих случаях (без проведения олимпиады и с ней).
- , поэтому . Определим максимум функции на промежутке ,
точки экстремума - и , определяем, что - точка максимума, и проверяем, что . Поэтому .
Определим прибыль фирмы. , отсюда ,
- , поэтому . Определим максимум функции на промежутке ,
точки экстремума - и , определяем, что - точка максимума, и проверяем, что . Поэтому .
Определим прибыль фирмы. , .
, где -стоимость организации олимпиады. .
Наконец, определим максимальное возможное значение x. поэтому
Ответ:
Максимальная стоимость проведения олимпиады - 207 лилифунтов