Субсидия в условиях недостатка данных
В региональном этапе олимпиады вы решали задачу, в которой вам предлагалось найти ставку субсидии, которая приведет к восстановлению изначального равновесия на рынке после шока предложения. Для нахождения этой ставки вам была дана эластичность предложения в точке равновесия, но в жизни такая информация не всегда доступна тем, кто проводит экономическую политику. Рассмотрите снова рынок товара X, спрос и предложение на котором в любой момент времени описываются линейными функциями. Изначально равновесная цена равна 40, а выпуск –– 20. Из-за пандемии нарушились цепочки поставок, и предложение товара упало. Цена повысилась до 50, а выпуск сократился до 10. Министерство экономики считает правильным ввести субсидию в процентах от цены потребителя, чтобы цена для потребителя опустилась обратно до 40. (Субсидия выплачивается производителю.) Вы –– сотрудник министерства, которому нужно рассчитать ставку этой субсидии. Вы знаете только то, что описано выше, а также из опроса экспертов знаете, что коэффициент эластичности предложения по цене в новой точке равновесия (P = 50, Q = 10) лежит на отрезке от 1 до 10.
а) (6 баллов) Определите минимальную ставку субсидии s в процентах от цены потребителя, после введения которой цена для потребителя гарантированно опустится на уровень не выше 40.
б) (2 балла) Определите возможные значения равновесного выпуска, если будет введена субсидия по ставке s, найденной вами в пункте а).
в) (4 балла) Определите возможные значения расходов на выплату субсидии, если будет введена субсидия по ставке s, найденной вами в пункте а).
а) Восстанавливая функцию спроса по двум точкам P = 50, Q = 10 и P = 40, Q = 20, получаем Qd = 60 − P. Пусть новая (после падения) функция предложения есть Q = cP − d. Предложение точно проходит через точку P = 50, Q = 10, поэтому 10 = 50c − d, d = 50c − 10, так что
q1 = cP + 10 − 50c
Эластичность предложения в данной точке равна
E = c (P/Q) = c (50/10) = 5c.
По условию, E [1; 10], откуда c [0,2; 2]. В результате введения процентной субсидии кривая предложения поворачивается: q2 = c s P − d, где s –– то, во сколько раз цена производителя больше цены потребителя при введении субсидии. Функция предложения должна пройти через точку Q = 20, P = 40, или ниже, откуда
20 $\leq$ c $\cdot$ s $\cdot$ 40 − d = c $\cdot$ s $\cdot$ 40 + 10 − 50c.
s $\geq$ (10 + 50c)(40c) = 1/4c + 5/4
Нам нужно найти минимальное значение s, при котором данное неравенство выполняется для всех c [0,2; 2]. Правая часть убывает по c, поэтому неравенство выполнено для всех c [0,2; 2] при наименьшем c из этого отрезка, c = 0,2. Значит, искомый минимальный коэффициент субсидии есть
smin = 1/4 $\cdot$ 0,2 + 5/4 = 1,25 + 1,25 = 2,5.
Значит, искомая ставка субсидии есть s − 1 = 1,5.
Ответ: 150 %.
Примечание: Значение c = 0,2 соответствует минимальной эластичности E = 1. До того, что нужно брать минимальную эластичность, можно додуматься на основе экономической интуиции. Действительно, нам нужно увеличить выпуск, а эластичность предложения как раз и есть параметр, который показывает, насколько легко фирмы готовы увеличить выпуск при увеличении цены. Чем меньше эластичность, тем меньше фирмы готовы увеличивать выпуск, и тем хуже ситуация для нас. Нам нужно, чтобы субсидия сработала даже в худшем случае, и поэтому нужно рассчитывать субсидию исходя из минимальной эластичности.
б) Найдем новое равновесие после введения субсидии по ставке 150 %.
60 − P = 2,5cP − 50c + 10,
откуда P = 20 + 30/(2,5c+1), Q = 60 − P = 40 − 30/(2,5c+1). Q монотонно возрастает по c, поэтому максимальное Q соответствует максимальному c, а минимальное Q соответствует минимальному c. При c = 0,2 Q = 20, при c = 2 Q = 35.
Ответ: Q [20; 35].
в) Возможен долгий вывод расходов в зависимости от эластичности или коэффициента c, но это не требуется. Будем рассматривать расходы на выплату субсидии как функцию от Q. Эти расходы равны S = 1,5 P Q = 1,5 (60 − Q)Q. Нам нужно лишь найти максимальное и минимальное значение этой квадратичной функции на отрезке [20; 35]. Ветви параболы направлены вниз, поэтому максимум достигается в вершине Q* = 30 [20; 35]. Максимальное значение расходов на выплату субсидии составляет 1,5 302 = 1350. В силу симметричности параболы, минимальное значение достигается в более далеком от вершины конце отрезка, то есть при Q = 20; оно равно 1,2 40 20 = 1200. Ответ: S [1200; 1350]. Примечание: если ошибочно предположить, что минимум и максимум расходов достигаются при крайних значениях Q, то можно прийти к неверному ответу [1200; 1312,5]