Фактор Z
Фирма является единственным потребителем фактора . Известно, что цена единицы продукции, производимой фирмой , равна , а производственная функция имеет вид . Фирма является единственным производителем фактора , причем совокупные альтернативные издержки найма фактора в количестве представимы функцией . Информация о функциях и известна всем агентам. Каждая фирма стремится максимизировать свою прибыль.
a) Предположим, что фирма знает функцию совокупных альтернативных издержек найма фактора фирмы . Предположим также, что фирма выбирает цену единицы данного фактора, а затем фирма , принимая эту цену как данную, решает, какое количество данного фактора она готова произвести и продать фирме при этой цене. Найдите цену фактора, максимизирующую прибыль фирмы , и количество фактора, которое при этой цене продаст фирма .
б) Предположим теперь, что фирма знает производственную функцию фирмы и выбирает цену фактора, а фирма , принимая эту цену как данную, решает, сколько фактора купить при этой цене. Найдите цену, максимизирующую прибыль фирмы и количество фактора, которое фирма приобретет по этой цене.
в) Если фирмы и объединились, то какое количество фактора будет производить интегрированная фирма? Как соотносится прибыль новой компании с суммарной прибылью фирм в случаях а) и б)? Будет ли полученное соотношение прибыли справедливо для любой возрастающей функции альтернативных издержек?
г) Пусть взаимодействие фирмы с поставщиком фактора производства соответствует ситуации, представленной в пункте а). Однако правительство хочет, чтобы уровень занятости фактора соответствовал значению, выбираемому интегрированной фирмой, рассмотренной в пункте в). Можно ли решить поставленную задачу за счет использования потоварного налога или потоварной субсидии с некой фиксированной ставкой. Найдите соответствующую ставку налога/субсидии и укажите, кто должен платить налог (получать субсидию) или покажите, что такого налога (субсидии) не существует.
Ответ
a) Фирма выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы , т.е. количество, которое фирма захочет продать при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией предложения. Найдем функцию предложения фирмы , решив ее задачу максимизации прибыли:
Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть .
Итак, функция предложения фирмы имеет вид .
Тогда фирма будет выбирать цену, которая приносит ей максимальную прибыль с учетом данной функции предложения поставщика фактора:
Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть .
Подставляя это значение в функцию предложения, находим .
б) Фирма выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы , т.е. количество, которое фирма захочет купить при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией спроса. Найдем функцию спроса фирмы , решив ее задачу максимизации прибыли:
Заметим, что целевая функция представима вогнутой функцией (парабола с ветвями вниз), а потому условие первого порядка будет необходимым и достаточным. Выпишем условие первого порядка или . Заметим, что полученное условие справедливо при . Если , то величина спроса на фактор будет равна нулю.
Итак, выбирая цену фактора, фирма будет решать следующую задачу
Задача фирмы примет вид
Условие первого порядка: .
Преобразовав, находим или . В соответствии с функцией спроса на фактор .
в) Задача интегрированной фирмы примет вид:
Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть .
В результате прибыль интегрированной фирмы составит
Суммарная прибыль двух фирм в случаях а) и б) будет одинакова, поскольку совпало равновесное количество фактора , что меньше прибыли, полученной интегрированной фирмой.
Данный результат несложно обобщить.
Суммарная прибыль двух фирм:
Поскольку интегрированная фирма выбирает уровень занятости фактора, максимизируя это выражение, то она всегда может выбрать уровень занятости фактора, соответствующий выбору в случаях а) или б), то есть прибыль интегрированной фирмы всегда не меньше, чем прибыль в случаях а) и б).
Более того, интегрированная фирма может (в некоторых случаях) выбрать другой уровень занятости, который приносит более высокую прибыль по сравнению со случаями а) и б).
г) Поскольку желаемый уровень занятости превышает фактический (выбираемый в пункте а)), то для увеличения уровня занятости будем субсидировать использование фактора производства, выплачивая потребителю этого фактора субсидию со ставкой за каждую единицу фактора. В итоге задача фирмы примет вид
Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть .
Подставляя в функцию предложения, находим при .
Результат об инвариантности получателя субсидии - балла.
Заметим, что не имеет значения, будет ли данную субсидию получать покупатель или поставщик фактора производства.