Эскалаторы
В Московском метро почти всегда можно заметить следующую ситуацию на эскалаторах: на правой стороне люди стоят, а на левой идут. Впрочем, иногда заняты и обе стороны стоячими. Эта задача хочет немного посмотреть на эти интересные равновесия и выяснить, какое из них лучше.
Допустим, за час одним эскалатором пользуются человек. Если выбрать правую сторону эскалатора, то сначала придется выстоять очередь, время которой можно определить как минут, где — количество людей, решивших тоже выбрать эту сторону. Само время спуска определим как минут.
Если идти по левой стороне, то в очереди стоять не нужно (потому что всем настолько лень это делать, что очередь), а сам спуск займет в раз меньше времени. Спуск по левой стороне связан с издержками , т к. бегать быстро - сложновато :(
Чем больше человек ценит свое время, тем большие издержки он несет примем их как , где — параметр, отражающий то, насколько сильно человек ценит свое время, а — время в потраченное на очередь и спуск.
Есть три группы людей. от общего числа сильно торопятся, поэтому для них . не слишком торопятся, поэтому их . Оставшиеся поймали дзен, поэтому у них .
-
Пусть . Найдите равновесие и полезности людей в разных группах.
-
Пусть . Найдите равновесие и полезности людей в разных группах.
-
Руководство метро решило отменить возможность идти по эскалатору — теперь и слева можно только стоять. Теперь полезность людей на левой стороне эскалатора аналогична правому, только очередь зависит от — количества людей, выбравших левый эскалатор. Как теперь распределяются люди по эскалаторам? Найдите среднюю полезность и сравните её с пунктом 1.
-
Если вы верно решили пункты 1) и 3), то могли заметить, что суммарная полезность уменьшилась. В то же время пропускная способность эскалатора увеличилась (доказательство последнего факта оставим за рамками задачи, хотя автор задачи порадуется, если вы его напишете). Объясните парадоксальную ситуацию.