«Мягкий» потолок цены
Функция спроса на продукцию монополиста описывается уравнением , а средние издержки постоянны и равны 2. Государство вводит потолок цены в размере . Ограничение цены, однако, не является жестким. Если фирма нарушает потолок цены, то она должна заплатить штраф в размере 9, при этом переустанавливать цену не нужно. Если фирма безразлична между несколькими разными ценами, она назначает меньшую из них.
Для каждого найдите цену , которую установит фирма. Постройте график функции .
Ответ
Сначала найдем, какую цену устанавливала бы фирма в отсутствие ограничений цены. Прибыль монополиста равна , это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке , при этом объем выпуска равен , а значение прибыли равно 16. Такой же результат можно получить, приравняв и или максимизируя функцию прибыли от : .
Если фирма установит оптимальную для себя цену и заплатит штраф, то ее прибыль будет равна . Если следование ограничению цены приводит к меньшей прибыли, то выгоднее платить штраф.
Рассчитаем оптимальную цену и прибыль фирмы, если фирма подчиняется потолку цены .
Случай 1: . Если потолок цены не заставляет фирму снижать цену, то для фирмы ничего не поменяется: она установит цену . Прибыль при этом будет равна 16.
Случай 2: . В этом случае фирме придется снижать цену (или платить штраф), но, подчиняясь, она всё еще может получать неотрицательную прибыль. Эта прибыль будет равна .
Случай 3: . В этом случае фирме невыгодно работать на рынке, так как цена ниже ее средних издержек.
Очевидно, что в случае 1 фирма не будет платить штраф (потому что ее оптимальная цена ничего не нарушает), а в случае 3 — будет (потому что иначе прибыль отрицательна). Что касается случая 2, то решение фирмы зависит от : если он достаточно низок, чтобы прибыль фирмы от цены была меньше 7, то выгоднее заплатить штраф, иначе нужно следовать ограничению. Найдем значения , при которых штраф выгоднее:
Текст с изображения:
или .
Интервал не подходит, потому что тогда потолок ничего не ограничивает (случай 1). Получается, что при потолке ниже 3 (в том числе ниже 2) фирма будет платить штраф и устанавливать цену 6, при потолке от 3 до 6 она будет следовать ограничению, а при потолке от 6 и выше будет просто вести себя как обычно. Запишем функцию аналитически и построим график:
