Логарифмические линейки и налоги в процентах от цены
Король одного государства решил пополнить казну, обложив налогом рынок логарифмических линеек.
– Знаешь ли, – говорит Король своему новому советнику, Юному Экономисту, – «абсолютные потоварные» налоги мне надоели, хочу ввести налог в процентах от цены. Только вот не знаю, от какой цены: от «новой» или от «старой».
– А что это значит? Мы такого не проходили, – расстроился Юный Экономист.
– Ну смотри. Если я ввожу налог в размере X% от «новой» цены, то это значит, что X% от цены каждой логарифмической линейки, которая продается в нашей стране, идет мне в карман. Если же от «старой», то это значит, что при каждом конкретном количестве продаваемых линеек в мой карман попадает сумма, равная X% того, что получает продавец. По-другому: "старая" цена соответствует некоторому количеству на старой кривой предложения, а "новая" цена соответствует тому же количеству на кривой предложения, измененной с учётом налога - на "новой" кривой предложения. Теперь понятно?
– Понятно. Нам еще что-то рассказывали про «цену покупателя» и «цену продавца»...
– Ну так вот. Налог я введу небольшой, 20%; а от «новой» или от «старой» – как будет выгоднее для казны. Доставай блокнот. Предложение: спрос: Цена – в тугриках, количество – в тысячах линеек. Если цена 2,5 тугрика и выше, спрос отсутствует; впрочем, говорят, таких высоких цен там никогда не бывает. Только ты не торопись сразу считать, а то с ума сойдешь. Тут до тебя был Старый Экономист, так он считал-считал, да и подал в отставку. Говорит, там что-то такое транс... ценс... денс... Ну, в общем, за гранью разумного. Ты лучше сначала поупражняйся на рынке обычных линеек, там предложение и спрос что ни на есть линейные: Проведи расчеты и выясни, в каком случае налоговые поступления будут больше: если продавцов обычных линеек обложить налогом в 20% от «новой» цены или от «старой». Какой способ здесь окажется выгоднее, тот и применим к рынку логарифмических линеек. Мне принесешь отчет: сколько после введения налога будет продано этих линеек и по какой цене; каковы будут налоговые сборы.
А теперь представьте, что вы – Юный Экономист. Проведя необходимые расчеты, определите способ налогообложения и предоставьте вышеописанный «отчет».
Ответ
В этой задаче проверяется умение находить функции предложения, измененные под влиянием косвенных налогов. В случае с абсолютными потоварными налогами все довольно просто. Если вводится налог в размере рублей с единицы, то при каждом возможном цена покупателя будет на выше; предложение сдвигается на единиц вверх, т.е. в направлении оси аргументов. Поэтому новую формулу предложения можно получить, используя элементарные сведения о преобразовании графиков из школьного курса алгебры: подставив в старую формулу вместо , получим новую формулу: .
Если налог берется в процентах, то ситуация немного усложняется. Самый простой, «лобовой» способ здесь – выразить через и осуществить вполне очевидные преобразования, после чего опять выразить через . Допустим, мы выразили через в первоначальной формуле, т.е. получили выражение для . Если налог берется в размере % от старой цены, то мы просто умножаем полученное выражение на , где – ставка налога в долях. Но т.к. по определению, то мы и получили выражение через ; остается только выразить через , и получим новую функцию предложения.
Если налог берется в размере % от новой цены, то из очевидного выражения получаем . Теперь, найдя выражение , выполняем действия, аналогичные вышеописанным: .
А что делать, если мы не можем получить явного выражения через ? Что, если функция предложения чуть посложнее, чем линейная? Выход есть.
Обратимся к рисунку. Здесь – первоначальная функция предложения, – функция предложения после введения налога. Пусть мы знаем явное выражение от , но не можем выразить через . Однако, используя данные из условия задачи, мы без труда можем выразить формулой связь между и в каждой точке.
Зафиксируем на уровне . В этой точке верно следующее: . Но ведь эта формула верна для любого ! Посмотрим теперь на равенство . В левой части находится то, что нам надо найти – явное выражение через ; в правой части – явное выражение через . Поскольку это равенство выполняется в любой точке, нам достаточно подставить выражение через в формулу , и мы получаем искомое явное выражение для . Возможны два случая:
-
Налог берется в размере T% от старой цены, т.е. , где – ставка налога в долях. Отсюда .
-
Налог берется от новой цены, т.е. . В этом случае .
В этой задаче специально введены такие функции спроса и предложения, чтобы нельзя было явно выразить через (здесь мы сталкиваемся с т.н. трансцендентными уравнениями, название которых не смог выговорить наш Король). В этом случае нельзя обойтись только «лобовым методом».
Применим наши рассуждения на практике:
Сначала рассчитаем сумму налоговых поступлений с рынка обычных линеек.
- :
Ответ:
Q=682 линейки; P=2 тугрика; НП=272,8 тугриков.