Честный менеджер
Некоторому монополисту-лентяю лень тратить время на собственноручную продажу своего товара, поэтому он нанял талантливого менеджера Андрея Борея, которому и поручил продажу производимого им скотча. Более того, монополист так обленился, что даже ничего не знает о текущем спросе на свой товар. Со словами «Андрюша, продай, сколько сможешь, по цене 60 рублей за 10 метров липкой ленты» он оставил ему огромный рулон бесконечно делимого товара и уехал на недельку отдохнуть. Договор же между ними таков: Андрей продает, сколько сможет, отдает начальнику 90% выручки, а остальное оставляет себе. Но наш Андрей Борей не промах: он быстро оценил существующий спрос и подумал о том, как бы ему побольше положить в свой карман. Единственный вид жульничества, который пришел в голову честному менеджеру Борею, - это продавать товар по другой цене. Определите, может ли Андрей Борей как-то увеличить свой заработок, если функция спроса на скотч, которую вывел Андрей, имеет вид , где – цена в рублях, а – количество скотча в 10-ах метров? Если нет, то обоснуйте свой вывод. Если да, то как много потеряет незадачливый монополист из-за своего лентяйства? Имейте в виду, что Борей должен отчитываться перед начальником за проданную изоленту и не может просто так бежать с деньгами, так что ему придется провернуть дело так, чтобы никто его ни в чем не заподозрил.
Ответ
Прибыль Борея и монополиста без жульничества рассчитать очень легко: , Борею идет , монополисту, соответственно, .
Теперь остается понять, как же будет действовать Борей.
Он явно максимизирует свой личный доход, но делает это так, чтобы не попасться.
Пусть он будет продавать по цене .
Тогда реально он продаст по цене . Но что он из этого получит? Продав , он обязан будет отчитаться перед начальством, то есть объявить, что официальная выручка равна (так как обязан продавать товар по цене 60). Значит, получит он разницу между и . Но ведь ему же еще причитаются проценты он официальной выручки! Значит, итоговая его функция прибыли имеет вид:
Максимум этой функции лежит ровно между корнями, значит, оптимальная цена для него составит 87 рублей за 10 метров ленты.
Таким образом, он продаст всего единицы продукции, и получит прибыль в размере , вместо , которые имел бы без жульничества!
Ответ:
Да, Андрей может улучшить свое положение. Монополист потеряет рублей.
Примечание:
Модифицированная версия задачи была включена в региональную олимпиаду по экономике 2009-2010 учебного года.