Задание 3.3 Олимпиада Колокольникова 2024 (7 -8 класс)
Даня очень любит преподавать очно и онлайн . Для каждого очного занятия Даня должен потратить деньги на поездку до школы и бутылочку воды. На дорогу в обе стороны Даня тратит рублей, а на бутылку воды рублей. Для онлайн преподавания ему нужна только бутылочка воды. Умник Тимофей решил посчитать функцию полезности Дани и понял, что она задается уравнением , где − величина полезности. В месяц Дане приходит стипендия в размере рублей. Определите максимальную полезность Дани, если он рационален и может провести только целое количество занятий очно и онлайн. В ответ запишите число без единиц измерения.
Ответ:
Решение:
Полезность Дани всегда увеличивается с увеличением и , поэтому Даня потратит всю стипендию на поездки до школы и воду. На одно онлайн занятие Даня тратит рублей, а на одно очное занятие тратит рублей, тогда бюджетное ограничение Дани - . Отсюда . Подставим получившееся выражение в функцию полезности - , и раскроем скобки - , график данной функции - парабола, ветви которой направлены вниз, тогда максимум функции достигается в точке , где . Оптимум находится в точке . Тогда, так как количество занятий - целое, сравним полезность от очных занятий и от : , тогда ответ на задачу равен .
( балла)