Необычная КПВ
Про кривую производственных возможностей страны известно следующее: альтернативная стоимость производства икса (x), выраженная в единицах игрека (y), следующим образом зависит от (y):
(единиц y)
При этом известно, что точка (10;0) в координатах (x;у) лежит на КПВ.
Жители страны потребляют товар икс и игрек в пропорции , где - целое положительное число. Также известно, что в равновесии потребляется целое количество и икса, и игрека.
Определите, в какой пропорции жители предпочитают потреблять икс и игрек.
Ответ
Как известно, альтернативная стоимость производства единицы икса равна тому количеству единиц игрека, от которых нам придётся отказаться (дискретный случай).
В непрерывном же случае, когда мы имеем дело с функцией, удобнее воспользоваться производной. Действительно, производная функции в каждой конкретной точке показывает, как известно, скорость изменения значения функции при «маленьком» изменении аргумента.
Альтернативные издержки производства одной единицы товара x равны:
Минус возникает в связи с тем, что принято говорить об альтернативной стоимости как о положительной величине.
(Рассмотрим пример КПВ с постоянной альтернативной стоимостью. КПВ будет иметь линейный вид, например, y=10–2x. Понятно, что равенство в терминах альтернативной стоимости выглядит так: или – чтобы произвести один игрек, нужно отказаться от 0,5x. Этот же результат можно получить, используя производную: y'x=-2. Тогда альтернативная стоимость игрека: единиц икса).
1). Зная альтернативную стоимость икса, как функцию от игрек находим КПВ:
Подбираем функцию, производная которой равна (-2y):
Получаем, что , где С – некоторая константа.
За правильные расчёты - 4 балла
2). Т.к. точка (10;0) находится на КПВ, находим константу C:
Итак, уравнение КПВ в этой экономике выглядит так:
За правильные расчёты - 2 балла
- Жители страны потребляют товар икс и игрек в пропорции . Следовательно, в равновесии должно выполняться соотношение: .
Далее нужно, опираясь на целочисленность икса, игрека и альфы, подобрать равновесие.
Самое простое – перебором.
Т. к. и y – целое, то («Жители страны потребляют товар икс и игрек в пропорции », поэтому ).
Остается 3 варианта: (9;1),(6;2),(1;3). Подставляем их в , получаем, что все целое только, если x=1;y=3.
За правильные расчёты - 4 балла
Ответ: